Гауссова функция

Эта статья — о гауссовой функции в общей форме. О её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой — см. Нормальное распределение.

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

$g\left(x\right)=a{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->b{)}^2}{2c^2}}$$g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$,

где параметры $a,b,c$$a,b,c$ — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратическое отклонение $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ и математическое ожидание $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$:

$a=\frac{1}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$$a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$, $b=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$b=\mu$, $c=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$c=\sigma$,

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ и среднеквадратичного отклонения $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$

График гауссовой функции при $a>0$$a>0$ и $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ — колоколообразная кривая, параметр $a$$a$ определяет максимальную высоту графика — пик колокола, $b$$b$ отвечает за сдвиг пика от нуля (при $b=0$$b=0$ — пик в нуле), а $c$$c$ влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции^[⇨]. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение^[⇨] в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

СвойстваПравить

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр $c$$c$  связан с полушириной колокола графика следующим образом:

$w=2\sqrt{2\ln <!--\; \; -->2}c\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,354}82\cdot <!--\; \cdot \; -->c$$w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c$ .

Гауссова функция может быть выражена через полуширину $w$$w$  колокола графика следующим образом:

$g(x)=a{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{4\ln <!--\; \; -->(2)(x-<!--\; -\; -->b{)}^2}{w^2}}$$g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(x-b)^{2}}{w^{2}}}}$ .

Перегибы $g(x)$$g(x)$  — две точки, в которых $x=b\pm <!--\; \pm \; -->c$$x=b\pm c$ .

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}g(x)=0$$\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0$ .

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

$\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->t^2}\mathrm{d}t$$\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$ 

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа:

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}a{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->b{)}^2}{2c^2}}dx=ac\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}$ .

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

$a=\frac{1}{c\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$$a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}$ ,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=b$$\mu =b$  и дисперсией ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=c^2$$\sigma ^{2}=c^{2}$ .

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр $c$$c$  свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: $c^2=c_1^2+c_2^2$$c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}$ . Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщенияПравить

 

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
$A=1$$A=1$ ,
$(x_0,y_0)=(0,0)$$(x_{0},y_{0})=(0,0)$ ,
$a=c=1/2$$a=c=1/2$ ,
$b=0$$b=0$ 

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

$g(x,y)=A\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{\left(-<!--\; -\; -->\left(\frac{(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}+\frac{(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}\right)\right)}$$g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)}$ ,

здесь $A$$A$  задаёт высоту колокола, $(x_0,y_0)$$(x_0, y_0)$  определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а $({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y)$$(\sigma _{x},\sigma _{y})$  отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

$V={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g(x,y)dxdy=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}A{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y$$V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}$ 

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

$g(x,y)=A\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\left(a(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^2+2b(x-<!--\; -\; -->x_0)(y-<!--\; -\; -->y_0)+c(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^2\right)\right)$$g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)$ ,

где матрица:

$\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]$ 

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в $n$$n$ -мерном евклидовом пространстве:

$g(x)=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x^{T}Ax)$$g(x)=\exp(-x^{T}Ax)$ ,

где $x=(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$x=(x_{1},\dots ,x_{n})$  — вектор-столбец из $n$$n$  компонентов, $A$$A$  — положительно определённая матрица размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , и $x^T$$x^{T}$  — операция транспонирования над $x$$x$ .

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ :

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathbb{R}}^n}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x^{T}Ax)dx=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^n}{detA}}$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A}}}$ .

Возможно определить $n$$n$ -мерный вариант и со сдвигом:

$g(x)=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x^{T}Ax+s^{T}x)$$g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)$ ,

где $s=(s_1,\dots <!--\; \dots \; -->,s_n)$$s=(s_{1},\dots ,s_{n})$  — вектор сдвига, а матрица $A$$A$  — симметричная ($A^T=A$$A^{T}=A$ ) и положительно определённая.

Супергауссова функцияПравить

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень $P$$P$ :

$sg(x)=A\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->{\left(\frac{(x-<!--\; -\; -->x_o{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}\right)}^P\right)$$sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P}\right)$ ,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам $P_x$$P_{x}$  и $P_y$$P_{y}$ :

$sg(x,y)=A\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->{\left(\frac{(x-<!--\; -\; -->x_o{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}\right)}^{P_x}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{(y-<!--\; -\; -->y_o{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}\right)}^{P_y}\right)$$sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^{P_{y}}\right)$ .

ПримененияПравить

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали^[en] — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро^[en]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие^[en]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

ЛитератураПравить

• L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Gaussian Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Integrating The Bell Curve / MathPages (англ.)