Асимптотически нормальная оценка

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.

ОпределениеПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$  — выборка из распределения ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$\mathbb {P} _{\theta }$ , зависящего от параметра $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\theta \in \Theta$ .

Точечная оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  называется асимптотически нормальной с дисперсией $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{}^2(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$\sigma \ ^{2}(\theta )$ , если

$\sqrt{n}\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)\to <!--\; \to \; -->Z$${\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z$  по распределению при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ ,

где $Z\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}\left(0,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\right)$$Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$  - нормальная случайная величина.

ЗамечаниеПравить

Эквивалентно, оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  асимптотически нормальна, если

$\frac{\sqrt{n}\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Z}$${\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )}}\to {\tilde {Z}}$  по распределению при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ ,

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Z}\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}(0,1)$${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$ .

СвойстваПравить

• Асимптотически нормальная оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

ПримерыПравить

• Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n,\dots <!--\; \dots \; -->\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{U}[0,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}]$$X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$  - выборка из непрерывного равномерного распределения, где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}>0$$\theta >0$ . Пусть

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_1=2\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}$ ,

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\bar {X}}$  - выборочное среднее, а

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_2=X_{(n)}$${\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)}$ ,

где $X_{(n)}=max(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)$$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ . Тогда оценка ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_1$${\hat {\theta }}_{1}$  является асимптотически нормальной с дисперсией ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})={\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2/3$$\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ , а оценка ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_2$${\hat {\theta }}_{2}$  не является асимптотически нормальной.