Выборочные моменты

Выборочные моменты в математической статистике — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки.

ОпределениеПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$  — выборка из распределения вероятности. Тогда

• Начальный выборочный момент порядка $k$$k$  — это случайная величина

$a_n(k)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i^k$$a_{n}(k)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ X_{i}^{k}$ 

• Центральный выборочный момент порядка $k$$k$  — это случайная величина

$m_n(k)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(X_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}\right)}^k$${\textstyle m_{n}(k)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{k}}$ ,

где символ $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\bar {X}}$  обозначает выборочное среднее.

ПрименениеПравить

Выборочные моменты необходимы для оценки характеристик априорного распределения или проверки статистических гипотез. Оценивание параметров может быть сделано методом моментов.

ЛитератураПравить

• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Математическая статистика. : учеб. пособие. М.: МЗ Пресс – МФТИ, 2004. ISBN 5-94073-087-6.