Внутренность

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T}),$$(X,{\mathcal {T}}),$  где $X$$X$  — произвольное множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$ .

Ниже рассматривается открытость подмножеств $B\subset <!--\; \subset \; -->A$$B\subset A$  как подмножеств всего $X$$X$  (например, $A$$A$  обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом $X$$X$  явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$ .

Тогда внутренность множества $A$$A$  можно определить несколькими эквивалентными способами:

• Внутренность — объединение всех открытых подмножеств $B\subset <!--\; \subset \; -->A$$B\subset A$ :

  $\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)=\underset{B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T},B\subset <!--\; \subset \; -->A}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}B$$\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T}},\;B\subset A}B$ .

• Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество $A$$A$ :

  $(\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T})\wedge <!--\; \wedge \; -->(\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)\subset <!--\; \subset \; -->A)\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}B((B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T})\wedge <!--\; \wedge \; -->(B\subset <!--\; \subset \; -->A)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)))$$(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T}})\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;((B\in {\mathcal {T}})\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$ .

 

Точка $x$$x$  — внутренняя, а точка $y$$y$  — не внутренняя (в данном случае — граничная)

• Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$  называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество $B\subset <!--\; \subset \; -->A$$B\subset A$ , такое что $x\in <!--\; \in \; -->B$$x\in B$ :

  $\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)=\left\{x\in <!--\; \in \; -->A:\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}B\subset <!--\; \subset \; -->A,x\in <!--\; \in \; -->B,B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}\right\}$$\operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T}}\right\}$ .

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

СвойстваПравить

• Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств $X$$X$ .
• Внутренность $\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)$$\operatorname {int} (A)$  — открытое множество.
• Множество $A$$A$  открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

  $(A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T})\iff <!--\; \iff \; -->\left(A=A^0\right)$$(A\in {\mathcal {T}})\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .

  • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
• Операция внутренности идемпотентна:

  $\mathrm{int}<!--\; \; -->(\mathrm{int}<!--\; \; -->(A))=\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)$$\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$ .

• Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:

  $(A\subset <!--\; \subset \; -->B)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\left(\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{int}<!--\; \; -->(B)\right)$$(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$ .

• В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$$X$  — метрическое пространство с метрикой $d$$d$ , и $M$$M$  — его подмножество. Точка $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  является внутренней для $M$$M$  тогда и только тогда, когда существует $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ , такое что $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ . Иначе говоря, $x$$x$  входит в $M$$M$  вместе с шаром радиуса $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  с центром в $x$$x$ .

ПримерыПравить

• $\mathrm{int}<!--\; \; -->(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$ 
• Если $A\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$A\subset {\mathbb {R}}^{n}$  — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то $\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\operatorname {int} (A)=\emptyset$ .
• Если $X=\mathbb{R}$$X={\mathbb {R}}$  — вещественная прямая со стандартной топологией, и $[a,b]\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$[a,b]\subset {\mathbb {R}}$ , то $\mathrm{int}<!--\; \; -->([a,b])=(a,b).$$\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$ 
• Если $X$$X$  — дискретное пространство, то для любого $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  имеем $\mathrm{int}<!--\; \; -->(A)=A$$\operatorname {int} (A)=A$ .

ВариацииПравить

Относительная внутренностьПравить

Основная статья: Относительная внутренность

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренностьПравить

Основная статья: Квазотносительная внутренность

Алгебраическая внутренностьПравить

Основная статья: Алгебраическая внутренность

ЛитератураПравить

• Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. такжеПравить

• Внешность
• Граница
• Замыкание
• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность