Внешность (топология)

Вне́шность множества в общей топологии — это внутренность дополнения к нему.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$  — топологическое пространство, где $X$$X$  — произвольное множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — определённая на нём топология. Пусть дано подмножество $A\subset <!--\; \subset \; -->X.$$A \subset X.$  Точка $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$  называется вне́шней то́чкой мно́жества $A,$$A,$  если существует её окрестность $U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T},U\ni <!--\; \ni \; -->x_0$$U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}$  такая, что

$U\cap <!--\; \cap \; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$U\cap A=\emptyset .$ 

Совокупность всех внешних точек множества называется внешностью и обозначается $A^{\mathrm{e}}.$$A^{\mathrm {e} }.$ 

СвойстваПравить

• Все основные свойства внешности следуют из свойств внутренности и тождества:

$A^{\mathrm{e}}={\left(A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\right)}^0;$$A^{\mathrm {e} }=\left(A^{\complement }\right)^{0};$ 

• $X=A^0\cup <!--\; \cup \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}A\cup <!--\; \cup \; -->A^{\mathrm{e}}.$$X=A^{0}\cup \partial A\cup A^{\mathrm {e} }.$ 

ПримерПравить

Пусть дана вещественная прямая с определённой на ней стандартной топологией. Тогда

• $(a,b{)}^{\mathrm{e}}=(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},a)\cup <!--\; \cup \; -->(b,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$(a,b)^{\mathrm {e} }=(-\infty ,a)\cup (b,\infty ).$ 

См. такжеПравить

• Внутренность
• Граница множества