Внешняя алгебра

Не следует путать с грассманианом.

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством $V$$V$ обычно обозначается $\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->V$$\bigwedge V$. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятияПравить

Внешней алгеброй $\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->V$$\bigwedge V$  векторного пространства $V$$V$  над полем $K$$K$  называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры $T(V)$$T(V)$  по двустороннему идеалу $I$$I$ , порождённому элементами вида $x\otimes <!--\; \otimes \; -->x,x\in <!--\; \in \; -->V$$x\otimes x,x\in V$ :

$\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->V=T(V)/I$${\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I$ .

Если характеристика поля $\mathrm{char}<!--\; \; -->(K)\ne <!--\; \ne \; -->2$$\operatorname {char} (K)\neq 2$ , то идеал $I$$I$  в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида $x\otimes <!--\; \otimes \; -->y+y\otimes <!--\; \otimes \; -->x$$x\otimes y+y\otimes x$ .

Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

$x\wedge <!--\; \wedge \; -->y=-<!--\; -\; -->(y\wedge <!--\; \wedge \; -->x).$$x\wedge y=-(y\wedge x).$ 

k-й внешней степенью пространства $V$$V$  называют векторное пространство ${\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{k}V$$\bigwedge \nolimits ^{k}V$ , порождённое элементами вида

$x_1\wedge <!--\; \wedge \; -->x_2\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->x_k,x_i\in <!--\; \in \; -->V,i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,k,$$x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,$ 

причём $\dim <!--\; \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{k}V=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$  и ${\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{k}V$$\bigwedge \nolimits ^{k}V$  = { 0 } при k > n.

Если $\dim <!--\; \; -->V=n$$\dim V=n$  и { e₁, …, e_n } — базис $V$$V$ , то базисом ${\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{k}V$$\bigwedge \nolimits ^{k}V$  является множество

$\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.$ 

Тогда

$\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->(V)={\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^0(V)\oplus <!--\; \oplus \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^1(V)\oplus <!--\; \oplus \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^2(V)\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^n(V),$${\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),$ 

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^k\left(V\right)$$\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^p\left(V\right)$$\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$ , то

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{kp}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{k+p}\left(V\right).$$\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).$ 

СвойстваПравить

• Элементы пространства ${\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{r}V$$\bigwedge \nolimits ^{r}V$  называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V,$$V,$  с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    $(\mathbf{a}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathbf{b}{)}_{ij}=a_i{b}_j-<!--\; -\; -->a_j{b}_i.$$(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$ 

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    $(\mathbf{a}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathbf{b}{)}_{ij}=(a_i{b}_j-<!--\; -\; -->a_j{b}_i)/2.$$(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$ 

• Внешний квадрат произвольного вектора $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{1}V$$\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$  нулевой:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->2}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0.$$\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.$ 

• Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

$({\mathbf{e}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathbf{e}}_4{)}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->2}=2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{e}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathbf{e}}_2\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathbf{e}}_3\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathbf{e}}_4.$$(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.$ 

• Линейно независимые системы из $r$$r$ -векторов $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_r$$x_{1},\dots ,x_{r}$  и $y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_r$$y_{1},\dots ,y_{r}$  из $V$$V$  порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$$r$ -векторы $x_1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->x_r$$x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$  и $y_1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->y_r$$y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$  пропорциональны.

СсылкиПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
• Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
• Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

См. такжеПравить

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор