Симметрическая алгебра

В математике, симметрической алгеброй $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S(V)$ $S(V)$ (также обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Sym} (V)$ $\mathrm {Sym} (V)$ ) векторного пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ над полем $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ $K$ называется свободная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, содержащая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ .

Иначе говоря, симметрическую алгебру можно определить как факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $v\otimes w-w\otimes v$ $v\otimes w-w\otimes v$ . Она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ $f$ из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ в коммутативную алгебру $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ существует единственный гомоморфизм алгебр $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $g:S(V)\to A$ $g:S(V)\to A$ такой, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f=g\circ i$ $f=g\circ i$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i:V\to S(V)$ $i:V\to S(V)$ — вложение.

Симметрическая алгебра имеет градуированную структуру:

\text{[math]}

S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),

S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{n}(V)$ $S^{n}(V)$ — векторное подпространство, порождённое произведением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ векторов из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ .

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Бурбаки, Никола (1989), Начала математики, Алгебра I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, <https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&q=%22Symmetric+algebra%22>