Вейвлеты Добеши

Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.

Вейвлет Добеши порядка 2

Построение вейвлетов ДобешиПравить

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)=\sqrt{2}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->k),$$\varphi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}h_{k}\varphi (2t-k),$ 

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=\sqrt{2}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{g}_k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->k).$$\psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}g_{k}\varphi (2t-k).$ 

Компактность носителя функций $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  может быть достигнута, если будет выбрано конечное число $h_n\ne <!--\; \ne \; -->0$$h_{n}\neq 0$  таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:

$|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}){|}^2+|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}){|}^2=1,$$|m_{0}(\omega )|^{2}+|m_{0}(\omega +\pi )|^{2}=1,$ 

где $|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})|=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{h_n{e}^{-<!--\; -\; -->in\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{\sqrt{2}}$$|m_{0}(\omega )|=\sum _{n}{\frac {h_{n}e^{-in\omega }}{\sqrt {2}}}$  — тригонометрический полином, при условии моментов

${\frac{d^l\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^l}|}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0}=0$$\left.{\frac {d^{l}\psi {\omega }}{d\omega ^{l}}}\right|_{\omega =0}=0$ 

для $l=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1$$l=0,\ 1,\ \ldots ,\ N-1$  принимающий вид

$m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\propto <!--\; \propto \; -->{\left(\frac{1+e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{2}\right)}^N.$$m_{0}(\omega )\propto \left({\frac {1+e^{i\omega }}{2}}\right)^{N}.$ 

Если положить, что $M_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}){|}^2$$M_{0}(\omega )=|m_{0}(\omega )|^{2}$  — полином по $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\cos \omega$ , то условие нулевых моментов даёт $M_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\cos }^{2N}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->L(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$M_{0}(\omega )=\cos ^{2N}{\tfrac {\omega }{2}}\cdot L(\omega )$ , где $L(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=P{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}$$L(\omega )=P\sin ^{2}{\tfrac {\omega }{2}}$  — полином по $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\cos \omega$ .

Для поиска коэффициентов $h_n$$h_{n}$  необходимо получить $m_0$$m_{0}$ , выделив форму полинома $P$$P$ . Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что

$P(y)=(1-<!--\; -\; -->y{)}^{-<!--\; -\; -->N}(1-<!--\; -\; -->y^{N}P(1-<!--\; -\; -->y)).$$P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)).$ 

Разложив $(1-<!--\; -\; -->y{)}^{-<!--\; -\; -->N}$$(1-y)^{-N}$  до порядка $N-<!--\; -\; -->1$$N-1$ , получим явный вид полинома:

$P(y)=(1-<!--\; -\; -->y{)}^{-<!--\; -\; -->N}(1-<!--\; -\; -->y^{N}P(1-<!--\; -\; -->y))=\underset{k=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+k-<!--\; -\; -->1}{k})y^k.$$P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=\sum _{k=0}^{N-1}{\binom {N+k-1}{k}}y^{k}.$ 

Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни $m_0$$m_{0}$  из $P$$P$ :

$m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}{\left(\frac{z+1}{2}\right)}^N\underset{j=1}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(z-<!--\; -\; -->z_j).$$m_{0}(\omega )=\mathrm {const} \left({\frac {z+1}{2}}\right)^{N}\prod _{j=1}^{N-1}(z-z_{j}).$ 

Искомые коэффициенты вейвлета $h_j/\sqrt{2}$$h_{j}/{\sqrt {2}}$  будут являться коэффициентами при $z^j$$z^{j}$  в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  по известным коэффициентам $h_n$$h_{n}$ . На каждом шаге алгоритма функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  уточняется по оси $t$$t$  в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ . После этого, зная $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $h_n$$h_{n}$ , находится функция самого вейвлета $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ .

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядковПравить

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков

D2 (Хаар)	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
1	0.6830127	0.47046721	0.32580343	0.22641898	0.15774243	0.11009943	0.07695562	0.05385035	0.03771716
1	1.1830127	1.14111692	1.01094572	0.85394354	0.69950381	0.56079128	0.44246725	0.34483430	0.26612218
	0.3169873	0.650365	0.8922014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0.95548615	0.85534906	0.74557507
	-0.1830127	-0.19093442	-0.03957503	0.19576696	0.44583132	0.66437248	0.82781653	0.92954571	0.97362811
		-0.12083221	-0.26450717	-0.34265671	-0.31998660	-0.20351382	-0.02238574	0.18836955	0.39763774
		0.0498175	0.0436163	-0.04560113	-0.18351806	-0.31683501	-0.40165863	-0.41475176	-0.35333620
			0.0465036	0.10970265	0.13788809	0.1008467	6.68194092e-4	-0.13695355	-0.27710988
			-0.01498699	-0.00882680	0.03892321	0.11400345	0.18207636	0.21006834	0.18012745
				-0.01779187	-0.04466375	-0.05378245	-0.02456390	0.043452675	0.13160299
				4.71742793e-3	7.83251152e-4	-0.02343994	-0.06235021	-0.09564726	-0.10096657
					6.75606236e-3	0.01774979	0.01977216	3.54892813e-4	-0.04165925
					-1.52353381e-3	6.07514995e-4	0.01236884	0.03162417	0.04696981
						-2.54790472e-3	-6.88771926e-3	-6.67962023e-3	5.10043697e-3
						5.00226853e-4	-5.54004549e-4	-6.05496058e-3	-0.01517900
							9.55229711e-4	2.61296728e-3	1.97332536e-3
							-1.66137261e-4	3.25814671e-4	2.81768659e-3
								-3.56329759e-4	-9.69947840e-4
								5.5645514e-5	-1.64709006e-4
									1.32354367e-4
									-1.875841e-5

См. такжеПравить

• Вейвлет Койфлет

СсылкиПравить

• Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
• Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet Explorer (недоступная ссылка)
• Всплески Ингрид Добеши