Вейвлет Койфлет

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Вейвлет Койфлет порядка 1

Основные положения теории вейвлет-функцийПравить

Вейвлеты — ортонормированный базис в $L_2$$L_2$ . С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и её временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки .

Построение систем вейвлет-функцийПравить

Определение скейлинг-функцииПравить

Пусть $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  представляет собой функцию из в $L_2$$L_2$ , такую что множество её трансляций

$\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}(t)|{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}(t)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t-<!--\; -\; -->k)\},$$\{{\varphi }_{0,\;k}(t){\bigr |}\varphi _{0,\;k}(t)=\varphi (t-k)\},$  ($k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}$$k\in \mathrm {Z}$  — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в $L_2(R)$$L_{2}(R)$ .

Введем ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j,k}(t)$${\varphi }_{j,\;k}(t)$  согласно:

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j,k}(t)=2^{j/2}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(2^{j}t-<!--\; -\; -->k)j,k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}.$${\varphi }_{j,\;k}(t)=2^{j/2}\varphi (2^{j}t-k)j,k\in \mathrm {Z} .$ 

Пусть $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}(t)\}$$\{{\varphi }_{0,\;k}(t)\}$  — ортонормированный базис пространства $V_0$$V_{0}$ . Тогда для любой функции $f(t)\in <!--\; \in \; -->{\text{V}}_0$$f(t)\in {\mbox{V}}_{\mathrm {0} }$ :

$f(t)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{C}_k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t-<!--\; -\; -->k).$$f(t)=\sum _{k}C_{k}\varphi (t-k).$ 

Далее, пусть $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j,k}(t)\}$$\{{\varphi }_{j,\;k}(t)\}$  — ортонормированный базис пространства $V_j$$V_{j}$  , $j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}$$j\in \mathrm {Z}$ . Тогда мы получаем последовательность пространств $\{V_j|j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$ , таких что

$V_j\subset <!--\; \subset \; -->V_{j+1}$$V_{j}\subset V_{j+1}$ .

Определение. Пусть ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}(t)$${\varphi }_{0,\;k}(t)$  — ортонормированный базис в $V_0$$V_{0}$ , тогда разложение функции $f(t)\in <!--\; \in \; -->L_2$$f(t)\in L_{2}$  по базисам пространств $\{V_j|j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$  называется многомасштабным анализом в $L_2$$L_2$ .

Определение. Если $\{V_j|j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$  является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$$L_2$ , функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функцииПравить

Пусть последовательность пространств $\{V_j|j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$  является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$$L_2$ . Определим пространство $W_j$$W_{j}$  как дополнение пространства $V_j$$V_{j}$  до пространства $V_{j+1}$$V_{j+1}$ , то есть $W_j=V_{j+1}\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}{V}_j$$W_{j}=V_{j+1}\backslash V_{j}$ . Тогда

$V_j=V_0\oplus <!--\; \oplus \; -->\underset{k=0}{\overset{j}{⨁<!--\; ⨁\; -->}}{W}_k$$V_{j}=V_{0}\oplus \bigoplus _{k=0}^{j}W_{k}$ ,

или же:

$L_2=V_0\oplus <!--\; \oplus \; -->\underset{j=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{⨁<!--\; ⨁\; -->}}{W}_j$${L}_{2}=V_{0}\oplus \bigoplus _{j=0}^{\infty }W_{j}$ . $(1)$$(1)$ 

Построим материнскую вейвлет-функцию $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)\in <!--\; \in \; -->L_2$$\psi (t)\in {L}_{2}$  ортогональную скейлинг-функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$ . В результате получим набор функций $\{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{j,k}(t)|j,k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{{\psi }_{j,\;k}(t){\bigr |}j,k\in \mathrm {Z} \}$  — базис в пространстве $W_j$$W_{j}$ .

Вейвлет-разложениеПравить

Таким образом, согласно (1) и определению функций ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{j,k}(t)$${\psi }_{j,\;k}(t)$  и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j,k}(t))$${\varphi }_{j,\;k}(t))$  как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция $f(t)\in <!--\; \in \; -->L_2$$f(t)\in L_{2}$  может быть разложена в сходящийся в $L_2$$L_2$  ряд:

$f(t)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}(t)+\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j,k}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{k,j}(t),$$f(t)=\sum _{k}{\alpha }_{k}{\varphi }_{0,\;k}(t)+\sum _{j}\sum _{k}{\beta }_{j,\;k}{\psi }_{k,\;j}(t),$ 

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k=\int <!--\; \int \; -->f(t){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t)dt,$${\alpha }_{k}=\int f(t){\varphi }_{0,\;k}^{\ast }(t)dt,$ 

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j,k}=\int <!--\; \int \; -->f(t){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{j,k}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t)dt.$${\beta }_{j,\;k}=\int f(t){\psi }_{j,\;k}^{\ast }(t)dt.$ 

Коэффициенты ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k$${\alpha }_{k}$  дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j,k}$${\beta }_{j,\;k}$  содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств $W_j$$W_{j}$  используемых для анализа.

Функция $m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$m_{0}(\omega )$ Править

Утверждение. Пространства $V_j$$V_{j}$  являются вложенными $V_j\subset <!--\; \subset \; -->V_{j+1}$$V_{j}\subset V_{j+1}$  , $j\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}$$j\in \mathrm {Z}$  при условии, что существует $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  — периодическая функция $m_0(w)\in <!--\; \in \; -->L_2(0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$  такая, что

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=m_0\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right)$${\hat {\varphi }}(\omega )=m_{0}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)$ , $(2)$$(2)$ 

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$${\hat {\varphi }}(\omega )$  — Фурье-образ функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}|k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}$  является ортонормированной в $L_2$$L_2$  тогда и только тогда, когда

$\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k){|}^2=1$$\sum _{k}{\bigr |}{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi k){\bigr |}^{2}=1$ . (3)

Лемма 1. Положим, что $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{0,k}|k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Z}\}$$\{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}$ представляет собой ортонормированный базис в $L_2$$L_2$  . Тогда для любой $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

$|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}){|}^2+|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}){|}^2=1$${\bigr |}{m}_{0}(\omega ){\bigr |}^{2}+{\bigr |}{m}_{0}(\omega +\pi ){\bigr |}^{2}=1$ . (4)

Лемма 2.В том случае, если $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как $m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$m_{0}(\omega )$  — $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  -периодическую функцию из $L_2(0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$L_{2}(0,2\pi )$  , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=m_1\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right)$${\hat {\psi }}(\omega )=m_{1}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)$ , $(5)$$(5)$ 

где

$m_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=m_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->jw)$$m_{1}(\omega )=m_{0}^{*}(\omega +\pi )\exp(-jw)$  — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  и материнская вейвлет-функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)$$\psi (t)$  определяются $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  -периодической функцией $m_0(w)\in <!--\; \in \; -->L_2(0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$  согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

$m_0(0)=0$$m_{0}(0)=0$ .

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлетыПравить

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  -периодической функцией $m_0(w)\in <!--\; \in \; -->L_2(0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$ , но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию $m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$m_{0}(\omega )$  :

$m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\left(\frac{1+\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{2}\right)}^{N}L(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}),$$m_{0}(\omega )=\left({\frac {1+\exp(-j\omega )}{2}}\right)^{N}L(\omega ),$ 

где $L(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$L(\omega )$  — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

1. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)t^{l}dt=0,l=1,..,N-<!--\; -\; -->1;$$\int \varphi (t){t}^{l}dt=0,l=1,..,N-1;$ 
2. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)tdt=1;$$\int \varphi (t)tdt=1;$ 
3. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)t^{l}dt=0,l=0,..,N-<!--\; -\; -->1.$$\int \psi (t){t}^{l}dt=0,l=0,..,N-1.$ 

Или в частотной области:

1. ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-<!--\; -\; -->1;$${\hat {\varphi }}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$ 
2. $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(0)=1;$${\hat {\varphi }}(0)=1;$ 
3. ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(l)}(0)=0,l=0,..,N-<!--\; -\; -->1.$${\hat {\psi }}^{(l)}(0)=0,l=0,..,N-1.$ 

Условие ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}^{(l)}(0)=0$${\hat {\varphi }}^{(l)}(0)=0$  подразумевает $m^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-<!--\; -\; -->1;$${m}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$ .

Если существует некоторое число $N=2K,K\in <!--\; \in \; -->\mathrm{N}$$N=2K,K\in \mathrm {N}$ , тогда, согласно работе рассматриваемая функция $m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$m_{0}(\omega )$  для койфлетов может быть представлена в виде:

$m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\left(\frac{1+\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{2}\right)}^{2K}{P}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}),$$m_{0}(\omega )=\left({\frac {1+\exp(-j\omega )}{2}}\right)^{2K}{P}_{1}{}(\omega ),$ 

где

$P_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\underset{k=0}{\overset{K-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[\left(\begin{array}{c}\frac{k}{K-<!--\; -\; -->1+k}\end{array}\right){\left(\sin <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2})\right)}^{2k}+{\left(\sin <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2})\right)}^{2K}F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right],$${P}_{1}(\omega )=\sum _{k=0}^{K-1}\left[\left({\begin{array}{c}{\frac {k}{K-1+k}}\end{array}}\right)\left(\sin({\frac {\omega }{2}})\right)^{2k}+\left(\sin({\frac {\omega }{2}})\right)^{2K}F(\omega )\right],$  (7)

$F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$F(\omega )$  — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

$|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}){|}^2+|m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}){|}^2=1$${\bigr |}{m}_{0}(\omega ){\bigr |}^{2}+{\bigr |}{m}_{0}(\omega +\pi ){\bigr |}^{2}=1$ .

Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома $m_0(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$m_{0}(\omega )$  в виде (7), называются койфлетами уровня $N=2K$$N=2K$  .

Преимущества и применение койфлетовПравить

• Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
• Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
• Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. такжеПравить

• Вейвлет
• Вейвлет Хаара
• Вейвлеты Добеши

ЛитератураПравить

• Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — https://web.archive.org/web/20021020170708/http://www.quantlet.de/scripts/wav/html/ .
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.