Вариация однолистной функции

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию $f(z)$$f(z)$ комплексного переменного $z$$z$ в некоторой области $D$$D$ плоскости и зависящее от вещественного параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$, где $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->},\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}>0$$0\leqslant \lambda \leqslant \Lambda ,\;\Lambda >0$, семейство $F(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(z,\;\lambda )$ функций, также однолистных в $D$$D$ при каждом фиксированном $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}]$$\lambda \in [0,\;\Lambda ]$. Составим разность $F(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})-<!--\; -\; -->F(z,0)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(z,\;\lambda )-F(z,\;0)\equiv \Phi (z,\;\lambda )$, считая при этом, что $F(z,0)=f(z)$$F(z,\;0)=f(z)$.

Тогда вариацией $n$$n$-го порядка, или $n$$n$-й вариацией ($n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=1,\;2,\;\ldots$) однолистной функции $f(z)$$f(z)$ по семейству $F(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(z,\;\lambda )$ называется коэффициент $q_n(z)$$q_{n}(z)$ при ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n$$\lambda ^{n}$ в разложении $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\Phi (z,\;\lambda )$ по параметру $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ при условии, что остаточный член

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})-<!--\; -\; -->q_1(z)\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->q_2(z){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->q_n(z){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n$$\varphi _{n}(z,\;\lambda )=\Phi (z,\;\lambda )-q_{1}(z)\lambda -q_{2}(z)\lambda ^{2}-\ldots -q_{n}(z)\lambda ^{n}$

имеет порядок малости более высокий, чем ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n$$\lambda ^{n}$, равномерно относительно $z$$z$ или в области $D$$D$, или внутри $D$$D$, или в замыкании $D$$D$. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром, а позднее М. А. Лаврентьевым.

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях.

ЛитератураПравить

• Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / под ред. В. И. Смирнова. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966. — 628 с.