Бидуга

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой, требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

Рис. 1. Примеры бидуг

У бидуги зависимость $k(s)$$k(s)$ кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью.

Примеры бидугПравить

На рис. 1 показаны шесть бидуг $AJB$$AJB$ . Точки $A$$A$  и $B$$B$  — начальная и конечная точки кривой, $J$$J$  (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка $J$$J$  является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$$\overrightarrow {AB}$  длины $2c=|AB|$$\;2c=|AB|$ , в которой координаты начальной и конечной точек равны $A=(-<!--\; -\; -->c,0),B=(c,0)$$A=(-c,0),\;\;B=(c,0)$ .

Ориентированные углы наклонов касательных в точках $A$$A$  и $B$$B$ , измеренные относительно направления хорды $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$$\overrightarrow {AB}$ , обозначены $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ . Так, у бидуги 1 на рис. 1 $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>0$$\;\alpha >0,\;\beta >0$ , а у бидуг 2-6 — $\;\alpha >0,\;\beta <0$ .

Описание семейства бидугПравить

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={100}^{\circ <!--\; \circ \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; -->{30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$\alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.$  Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи. Параметр семейства обозначен $p$$p$ . Обозначение бидуги в виде $\mathcal{B}(p)$${\mathcal {B}}(p)$  подразумевает фиксацию констант, то есть $\mathcal{B}(p;\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},c)$${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$ .

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар $\{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\}.$$\{\alpha ,\beta \}.$ 

Рис. 2. Семейства бидуг с общими касательными на концах (два примера)

Рис. 3. Два семейства с общими (параллельными) касательными на концах: $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha =\beta$

Рис. 4. Семейства бидуг с $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$|\alpha |=\pi$  или $|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$|\beta |=\pi$

Соотношения для углов и кривизнПравить

Углы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  считаются определёнными в диапазоне $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->};\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi ;\,\pi ]$ : $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$ , $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi \leqslant \beta \leqslant \pi$ . Построение бидуги возможно при

$\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)$ 

Введём обозначения

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$\omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}},\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$ .

Неравенства (1) означают, что $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\ne 0$$\;\sin \omega \not =0$ .

Кривизна $k_1$$k_{1}$  первой дуги $(AJ)$$(AJ)$  и кривизна $k_2$$k_{2}$  второй дуги $(JB)$$(JB)$  выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

$k_1(p)=\frac{1}{c}\left(-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{p}\right),k_2(p)=\frac{1}{c}\left(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+p\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right).$$k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).$ 

Пусть

• ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1$$\theta _{1}$  и $L_1$$L_{1}$  — поворот и длина дуги $AJ$$AJ$ :    ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1=k_1{L}_1$$\theta _{1}=k_{1}L_{1}$ ;
• ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2$$\theta _{2}$  и $L_2$$L_{2}$  — поворот и длина дуги $JB$$JB$ :    ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2=k_2{L}_2$$\theta _{2}=k_{2}L_{2}$ .

Справедливы равенства

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1(p)=2\arg <!--\; \; -->\left({\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{i}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+p^{-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{i}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right),{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2(p)=2\arg <!--\; \; -->\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}+p{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right).$$\theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).$ 

Геометрическое место точек сопряженияПравить

Точки сопряжения $J$$J$  двух дуг расположены на окружности

$X_J(p)=\frac{c(p^2-<!--\; -\; -->1)}{p^2+2p\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+1},Y_J(p)=\frac{2cp\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{p^2+2p\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+1},-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->p⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.(2)$$X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)$ 

Эта окружность выходит из точки $A$$A$  под углом $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  и проходит через точку $B.$$B.$  При $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=0$$\gamma =0$  (то есть при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha =\beta$ ) это прямая $AB$$AB$  (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  $-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$-\omega$ .

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть $||\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{{}_J},\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{{}_J}||$$||\cos \tau _{{}_{J}},\,\sin \tau _{{}_{J}}||$ , где

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{{}_J}(p)=-<!--\; -\; -->2\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\frac{p\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{p\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}.$$\tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operatorname {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.$ 

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, $min\left|k_2(p)-<!--\; -\; -->k_1(p)\right|,$$\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$  реализуется при $p=\pm <!--\; \pm \; -->1;$$p=\pm 1;$  точка $J$$J$  при этом лежит на оси ординат $(X_J=0).$$(X_{J}=0).$ 

Вырожденные бидугиПравить

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

1. Бидуга $\mathcal{B}(0)$${\mathcal {B}}(0)$ : при $p\to <!--\; \to \; -->0$$p\to 0$  точка сопряжения $J(p)$$J(p)$  бидуги $AJB$$AJB$  стремится к точке $A$$A$ , часть $AJ$$AJ$  исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду $AB$$AB$  и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
2. Бидуга $\mathcal{B}(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$${\mathcal {B}}(\infty )$ : стремление $p\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$p\to \infty$  влечёт $J(p)\to <!--\; \to \; -->B$$J(p)\to B$ , часть $JB$$JB$  исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду $AB$$AB$  и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
3. Бидуга $\mathcal{B}(p^{\ast <!--\; \ast \; -->})$${\mathcal {B}}(p^{\ast })$ , где

   $\qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{при}}\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text{при}}\;|\beta |=\pi ),\end{array}}\right.$ 

   представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда $p^{\ast <!--\; \ast \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->0$$p^{\ast }\leqslant 0$ , а неравенства (1) исключают одновременное равенство $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$|\alpha |=|\beta |=\pi$ . На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами $A$$A$  и $B$$B$  проходит единственная бидуга $\mathcal{B}(p)$${\mathcal {B}}(p)$ . Именно, через точку $(x,y)$$(x,y)$  проходит бидуга с параметром

$\qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{если}}\quad \omega \,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[(x-c)^{2}+y^{2}]\sin \omega }},\quad &{\text{если}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{array}}\right.$ 

где $C(x,y)=(c^2-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->2cy\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma$ .

Структура семействаПравить

В семействе бидуг $\mathcal{B}(p;\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},c)$${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$  выделим, в зависимости от значения параметра $p,$$p,$  следующие подсемейства невырожденных бидуг:

$\begin{array}{l}{\mathcal{B}}^{+}(p):p\in <!--\; \in \; -->(0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->});\\ {\mathcal{B}}_1^{-<!--\; -\; -->}(p):p\in <!--\; \in \; -->(p^{\ast <!--\; \ast \; -->};0);\\ {\mathcal{B}}_2^{-<!--\; -\; -->}(p):p\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};p^{\ast <!--\; \ast \; -->});\\ {\mathcal{B}}^{-<!--\; -\; -->}(p)={\mathcal{B}}_1^{-<!--\; -\; -->}(p)\cup <!--\; \cup \; -->{\mathcal{B}}_2^{-<!--\; -\; -->}(p)\end{array}$${\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\end{array}}$ 

(в, Property 2, подсемейства ${\mathcal{B}}^{+}$${\mathcal {B}}^{\,+}$  и ${\mathcal{B}}^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}^{\,-}$  названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам ${\mathcal{B}}^{+}$$\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$ , ${\mathcal{B}}_1^{-<!--\; -\; -->}$$\color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$  и ${\mathcal{B}}_2^{-<!--\; -\; -->}$$\color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$  показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства ${\mathcal{B}}^{+}$${\mathcal {B}}^{\,+}$  — короткие. Их кривизна либо возрастает (если $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}>0$$\omega >0$ ), либо убывает (если $\omega <0$ ):

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(k_2-<!--\; -\; -->k_1)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn} \omega =\operatorname {sgn}(\alpha +\beta )$  (теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами $\mathcal{B}(0)$${\mathcal {B}}(0)$  и $\mathcal{B}(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$${\mathcal {B}}(\infty )$  (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\alpha +\beta =2\omega$ . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства ${\mathcal{B}}^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}^{\,-}$  имеют противоположный (по отношению к ${\mathcal{B}}^{+}$${\mathcal {B}}^{\,+}$ ) характер монотонности кривизны.
Если $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\ne \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$|\alpha |\not =\pi$  и $|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\ne \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$|\beta |\not =\pi$ , то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга $\mathcal{B}(p^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$\color {red}{\mathcal {B}}(p^{\ast })$  отграничивает друг от друга бидуги подсемейств ${\mathcal{B}}_{1,2}^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}$ .

Подсемейство ${\mathcal{B}}_1^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$  пусто, если $p^{\ast <!--\; \ast \; -->}=0$$p^{\ast }=0$      $(|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}).$$(|\beta |=\pi ).$ 

Подсемейство ${\mathcal{B}}_2^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$  пусто, если $p^{\ast <!--\; \ast \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$p^{\ast }=-\infty$  $(|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}).$$(|\alpha |=\pi ).$ 

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(s)$$\tau (s)$  — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы $\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pm \pi$ , и значения на концах могут отличаться от $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\beta$  на $\pm <!--\; \pm \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\pm 2\pi .$  Определим, наряду с $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\beta$ , кумулятивные версии граничных углов в виде $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\widetilde {\alpha }},{\widetilde {\beta }}$ , с учётом непрерывности $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(s).$$\tau (s).$  Поправка к углу $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки $A,$$A,$  то есть пересекает луч $\{x<-c,\,y=0\}$ ; поправка к углу $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки $B$$B$  (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

• в подсемействе ${\mathcal{B}}^{+}$${\mathcal {B}}^{\,+}$ :    $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta$ ;
• в подсемействе ${\mathcal{B}}_1^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ :    $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$${\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatorname {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta$ ;
• в подсемействе ${\mathcal{B}}_2^{-<!--\; -\; -->}$${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ :    $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operatorname {sgn} \omega$ .

Тогда полный поворот бидуги $\mathcal{B}(p)$${\mathcal {B}}(p)$   равен

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1(p)+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2(p)=\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$\theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha }},$ 

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(k_2-<!--\; -\; -->k_1)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}).$$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).$ 

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, $k_2>k_1$$k_{2}>k_{1}$ , имеем:

${\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .$ 

ЛитератураПравить

• Nutbourne, A. W.; Martin, R. R. Differential geometry applied to curve and surface design. Vol.1: Foundations (англ.). — Ellis Horwood, 1988. — ISBN 013211822X.

См. такжеПравить

• Теорема Фогта