Теорема Фогта

Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.

Рис. 1. Теорема Фогта (слева — в оригинальной формулировке)

Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916).

Формулировка В. ФогтаПравить

В оригинальной статье (Satz 12) теорема сформулирована так:

Пусть $A$$A$  и $B$$B$  – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой $g$$g$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  — углы между хордой $AB$$AB$  и касательными лучами в точках $A$$A$  и $B$$B$ , лежащими с той же стороны от $g$$g$ , что и дуга $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB}$${\overset {\frown }{AB}}$ . Тогда угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  больше, меньше, или равен $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , соответственно тому, возрастает ли кривизна от $A$$A$  до $B$$B$ , убывает ли, или остаётся постоянной.

В статье (как и в монографии, Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые с непрерывной кривизной $k(s)$$k(s)$ . Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абcолютных величинах кривизны $|k(s)|$$|k(s)|$  и углов $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|,|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|$$|\alpha |,\,|\beta |$ . Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях, , .

Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.

Модифицированная формулировка теоремыПравить

Модифицированная версия теоремы Фогта (см., теорема 1)

• рассматривает углы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  как ориентированные, измеренные относительно направления хорды $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$$\overrightarrow {AB}$ ;
• формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле $k(s)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{d}s},$$k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s}},$  где $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(s)$$\tau (s)$  — угол наклона касательной к кривой);
• не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
• распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая $A_6{B}_6$$A_{6}B_{6}$  на рис. 1).

Формулировка:

Пусть $k_1$$k_{1}$  — кривизна короткой спирали $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB}$${\overset {\frown }{AB}}$  в начальной точке $A$$A$ , $k_2$$k_{2}$  — её кривизна в конечной точке $B$$B$ . Тогда

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(k_2-<!--\; -\; -->k_1)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}),(1)$$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)$ 

или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,

${\begin{array}{llcc}{\text{если}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &-\pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{если}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2)$ 

Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые $A_1{B}_1$$A_{1}B_{1}$  и $A_4{B}_4$$A_{4}B_{4}$  на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: $0>k_1>k_2$$0>k_{1}>k_{2}$ . Неравенства Фогта, $k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,$  подразумевают $|k_{1}|<|k_{2}|\;\Rightarrow \;|\alpha |>|\beta |,$  что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },$  или $k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,$  в соответствии с (1).

Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у $k_1,k_2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$ ), получим примеры с возрастающей кривизной.

Геометрический смысл суммы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha +\beta$Править

 

Рис. 2. Линза спиральной дуги AB

Пусть по короткой спирали $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB}$${\overset {\frown }{AB}}$  движется точка от $A$$A$  к $B.$$B.$  Для каждого положения $P(s)$$P(s)$  подвижной точки построим круговую дугу $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{APB}$${\overset {\frown }{APB}}$  (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке $A$$A$  обозначим $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)$$\varphi (s)$ .

• Функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)$$\varphi (s)$  строго монотонна; $\underset{P\to <!--\; \to \; -->A}{lim}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$  $\underset{P\to <!--\; \to \; -->B}{lim}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.$$\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$ 
• Дуги $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{APB}$${\overset {\frown }{APB}}$  заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду $AB$$AB$ , одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке $A$$A$ , вторая — в точке $B.$$B.$ 
• Любая короткая спираль с граничными углами $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  заключена внутри линзы (теорема 2 в).
• Сумма $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\sigma =\alpha +\beta$  равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию${}^{(+)}$${}^{(+)}$ / убыванию${}^{(-<!--\; -\; -->)}$${}^{(-)}$  кривизны.

Обобщение теоремыПравить

 

Рис. 3.

Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\,\beta$  переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».

Рассмотрим на спирали $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB}$${\overset {\frown }{AB}}$  длины $S$$S$  точку $P(s)$$P(s)$ , движущуюся от $A=P(0)$$A=P(0)$  к $B=P(S)$$B=P(S)$ . Для достаточно малой (короткой) дуги $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AP}(s)$${\overset {\frown }{AP}}(s)$  значения граничных углов $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(s)$$\alpha (s)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)$$\beta (s)$ , измеренных относительно направления подвижной хорды $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}(s),$${\overrightarrow {AP}}(s),$  близки к нулю, и при удалении точки $P$$P$  от $A$$A$  они могут достичь значений $\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\pm \pi .$  Договоримся о сохранении непрерывности функций $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(s)$$\alpha (s)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)$$\beta (s)$  при достижении значений, кратных $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\pi.$  Обозначим

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(S),\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(S).$${\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).$ 

Так, на рис. 3 угол $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)$$\beta (s)$  достигает значения $+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$+\pi$ , когда точка $P(s)$$P(s)$  достигает положения $P_8$$P_8$ , после чего $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)>\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\beta (s)>\pi$ .

В статье (теорема 1) показано, что сумма $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(s)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(s)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)$$\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$  есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна $k(s)$$k(s)$ . Функция $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(s)$$\sigma (s)$  строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(s)\equiv <!--\; \equiv \; -->0.$$\sigma (s)\equiv 0.$  Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(k_2-<!--\; -\; -->k_1)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}).$$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).$ 

Связанные утверждения:

• При дробно-линейном отображении спирали значение $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  сохраняется.
• Вариация поворота спирали ограничена неравенствами $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$  и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.

Обратная теоремаПравить

В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).

В (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.

В (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB},$${\overset {\frown }{AB}},$  отличной от бидуги, с граничными углами $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\;\beta$  и кривизнами $k_1,k_2$$k_{1},\;k_{2}$  необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства $Q<0$ , где

$Q=(k_{1}c+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(k_{2}c-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2},c=\frac{1}{2}|AB|.(3)$$Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2}},\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)$ 

Если спираль является бидугой, то $Q=0.$$Q=0\,.$ 

Пояснение и пример построения

 

Рис. 4. Варианты взаимного расположения ориентированных окружностей

Пусть ${\mathcal{K}}_A$${\mathcal {K}}_{A}$  и ${\mathcal{K}}_B$${\mathcal {K}}_{B}$  — граничные круги кривизны спиральной дуги $AB$$AB$ , $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — их угол пересечения. Тогда $Q={\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{2},$$Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2}},$  а неравенство $Q<0$  означает, что угол $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  чисто мнимый. Это, в свою очередь, можно интерпретировать следующим образом: круги ${\mathcal{K}}_A$${\mathcal {K}}_{A}$  и ${\mathcal{K}}_B$${\mathcal {K}}_{B}$  не имеют общих точек и расположены так, что при сближении их пересечению будет предшествовать касание — совпадение ориентированных касательных в общей точке.

Неравенство $Q<0$  выполнено для любой пары зелёных окружностей на Рис. 4. Произвольно выбрав начальную точку $A$$A$  на одной из них и конечную точку $B$$B$  на другой, можно построить спиральную дугу, для которой окружности ${\mathcal{K}}_A$${\mathcal {K}}_{A}$  и ${\mathcal{K}}_B$${\mathcal {K}}_{B}$  будут граничными кругами кривизны. Пример такого построения показан на фрагменте $Q=-<!--\; -\; -->0.88$$Q=-0.88$  рисунка 4 точечной линией ($|AB|=2c=2,$$|AB|=2c=2,$  $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->{78.34}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$\alpha \approx -78.34^{\circ },$  $k_1\approx <!--\; \approx \; -->1.73,$$k_{1}\approx 1.73,$  $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->{38.34}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$\beta \approx -38.34^{\circ },$  $k_2\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->2.76$$k_{2}\approx -2.76$ ).

Любые две синие окружности касаются, и для них $Q=0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0).$$Q=0\;(\psi =0).$  Для выбранных на фрагменте $Q=0$$Q=0$  точек $A$$A$  и $B$$B$  единственная возможная спиральная дуга представляет собой бидугу $AB$$AB$  (изображена точками) и совпадает с окружностями ${\mathcal{K}}_A$${\mathcal {K}}_{A}$  и ${\mathcal{K}}_B$${\mathcal {K}}_{B}$ .

Для любой пары пересекающихся (коричневых) окружностей построение спирали с такими кругами кривизны невозможно. Невозможно оно и для пар красных окружностей: у них либо $Q=1$$Q=1$  ($\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\psi =\pm \pi$ , «противокасание»), либо $Q>1.$$Q>1.$ 

Значение $Q$$Q$  (3) не зависит от выбора точек $A$$A$  и $B$$B$  на окружностях и может быть выражено, например, через их кривизны и межцентровое расстояние $L$$L$ :

$k_1{k}_2\ne <!--\; \ne \; -->0⟹<!--\; ⟹\; -->Q=\frac{(k_1{k}_{2}L{)}^2-<!--\; -\; -->(k_2-<!--\; -\; -->k_1{)}^2}{4k_1{k}_2}.$$k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-}k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.$ 

Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи и).

См. такжеПравить

• Спираль: определения, основанные на монотонности кривизны.
• Бидуга.