Натуральные уравнения

Натуральные уравнения — соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну $k$$k$ и кручение $\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}$$\varkappa$ кривой как функции её дуги: $k=k(s)$$k=k(s)$, $\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}=\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}(s)$$\varkappa =\varkappa (s)$. Наименование «Натуральные уравнения» объясняется тем обстоятельством, что функции $k(s)$$k(s)$ и $\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}(s)$$\varkappa (s)$ не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат), а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции $k(s)$$k(s)$ и $\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}(s)$$\varkappa (s)$, из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.

Натуральные уравнения плоских кривых Править

Пусть $f(s)$$f(s)$  — произвольная гладкая функция. В таком случае существует кривая $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ , единственная с точностью до сохраняющего ориентацию движения плоскости, параметризованная натуральным параметром $s$$s$  и такая, что $f(s)=k_o(s)$$f(s)=k_{o}(s)$  во всех точках кривой. Здесь величина $k_o(s)$$k_{o}(s)$  — ориентированная кривизна кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

Натуральные уравнения в трехмерном пространстве Править

Пусть $f(s)$$f(s)$  и $g(s)$$g(s)$  — две произвольные гладкие функции, причём $f(s)$$f(s)$  положительна. Тогда существует кривая $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ , параметризованная натуральным параметром $s$$s$ , кривизна и кручение которой равны в каждой точке $f(s)$$f(s)$  и $g(s)$$g(s)$  соответственно. Такая кривая единственна с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.