Бесконечный телескоп

Бесконечный телескоп — трюк в доказательстве, основанный на парадоксальных свойствах бесконечных сумм. В геометрической топологии он был использован Барри Мазуром и часто называется мошенничеством Мазура или телескоп Мазура (см. телескопическая сумма). В алгебре он был введен Сэмюэлем Эйленбергом и известен как мошенничество Эйленберга или телескоп Эйленберга.

Идея основана на следующем шуточном доказательстве того, что 1 = 0:

1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0

Разумеется так рассуждать нельзя, потому как ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + ... не сходится. Однако этот трюк можно использовать для некоторых объектов если подобные бесконечные суммы имеют смысл.

ПримерПравить

Типичным применением бесконечного телескопа является доказательство того, что связная сумма $A\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}B$$A\#B$  двух нетривиальных узлов $A$$A$  и $B$$B$  нетривиальна. Для узлов можно брать бесконечные суммы, делая узлы все меньше и меньше (при этом обычно получается дикий узел) так что если узел $A\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}B$$A\#B$  тривиален, то тоже верно про узел

$A=A\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}(B\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}A)\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}(B\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}A)\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\cdots <!--\; \cdots \; -->=(A\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}B)\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}(A\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}B)\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\cdots <!--\; \cdots \; -->.$$A=A\#(B\#A)\#(B\#A)\#\cdots =(A\#B)\#(A\#B)\#\cdots .$ 

ЛитератураПравить

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.