Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

ОпределениеПравить

Случайная величина $Y$$Y$  называется бесконечно делимой, если для любого $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$  она может быть представлена в виде

$Y=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i^{(n)}$$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}$ ,

где ${\left\{X_i^{(n)}\right\}}_{i=1}^n$$\left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}$  — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределенийПравить

• Характеристическая функция ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_Y(t)$$\phi _{Y}(t)$  бесконечно делимой случайной величины $Y$$Y$  имеет вид:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_Y(t)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{X^{(n)}}^n(t)$$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределенийПравить

Теорема КолмогороваПравить

Для того, чтобы функция распределения $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\Phi (x)$  c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$  имел вид:

$\ln <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)=i\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}t+\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{e^{itx}-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->itx}{x^2}dG(x)$$\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2}}}dG(x)$ ,

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — вещественная постоянная, а $G(x)$$G(x)$  — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — ХинчинаПравить

Пусть $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$  — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $G:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , такая что

$\ln <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)=i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t+\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(e^{itu}-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)$$\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)$ 

ПримерыПравить

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$$(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$ , где

$m(n)=\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n}{n!}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }$ 

для некоторого $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ . Тогда случайная величина $X:\mathbb{N}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ , имеющая вид

$X(n)=n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}$ 

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группахПравить

Распределение $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на локально компактной абелевой группе $X$$X$  называется бесконечно делимым, если для каждого натурального $n$$n$  существует элемент $x_n\in <!--\; \in \; -->X$$x_{n}\in X$  и распределение ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n$$\mu _{n}$  на $X$$X$  такой, что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->n}\ast <!--\; \ast \; -->E_{x_n}$$\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}$ , где $E_{x_n}$$E_{x_{n}}$  - вырожденное распределение, сосредоточенное в $x_n$$x_{n}$  (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. такжеПравить

• Устойчивое распределение.

ЛитератураПравить

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.