Обобщённое распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе распространяет понятие классического распределения Пуассона на прямой на локально компактные абелевы группы.

Пусть $X$$X$ — локально компактная абелева группа, $Y$$Y$ ее группа характеров, $(x,y)$$(x, y)$ — значение характера $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$ на элементе $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$. Пусть $F$$F$ — конечная неотрицательная мера на $X$$X$. Обобщенным распределением Пуассона, ассоциированным с мерой $F$$F$, называется сдвиг распределения $e(F)$$e(F)$ вида

$e(F)=\exp <!--\; \; -->\{-<!--\; -\; -->F(X)\}\left(E_0+F+\frac{F^{\ast <!--\; \ast \; -->}2}{2!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{F^{\ast <!--\; \ast \; -->}n}{n!}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$e(F)=\exp\{-F(X)\}\left(E_{0}+F+{F^{*}2 \over 2!}+\dots +{F^{*}n \over n!}+\dots \right)$,

где $E_0$$E_{0}$ − вырожденное распределение, сосредоточенное в нуле группы $X$$X$.

Распределение $e(F)$$e(F)$ — бесконечно делимо. Характеристическая функция распределения $e(F)$$e(F)$ имеет вид

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e(F)}(y)=\exp <!--\; \; -->\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_X[(x,y)-<!--\; -\; -->1]dF(x)\right\}$${\widehat {e(F)}}(y)=\exp \left\{\int _{X}[(x,y)-1]dF(x)\right\}$.

ЛитератураПравить

• Parthasarathy K.R., Ranga Rao R., Varadhan S. R. S. Probability distributions on locally compact abelian groups // Illinois J. Math. -  1963. — 7. — P. 337—369.
• Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. -  New York — London: Academic Press, 1967.
• Feldman G.M. Arithmetic of probability distributions and characterization problems on Abelian groups. Transl. Math. Monographs. — 116. - Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.