Ассоциатор

Ассоциатор в общей алгебре — трилинейное отображение $R\times <!--\; \times \; -->R\times <!--\; \times \; -->R\to <!--\; \to \; -->R$$R\times R\times R\to R$ над кольцом (не обязательно ассоциативным) $R$$R$, определяемое по формуле:

$[x,y,z]=(xy)z-<!--\; -\; -->x(yz)$$[x,y,z] = (xy)z - x(yz)$.

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

СвойстваПравить

В любом кольце для ассоциатора верно тождество:

$w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-<!--\; -\; -->[w,xy,z]+[w,x,yz]$$w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]$ .

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:

$[x_1,x_2,x_3]=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}[x_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(1)},x_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(2)},x_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(3)}]$$[x_{1},x_{2},x_{3}]=\operatorname {sgn} \sigma [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]$ ,

где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — перестановка трёх элементов, а $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\operatorname {sgn} \sigma$  — чётность этой перестановки.

Теория категорийПравить

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:

$a_{x,y,z}:(x\otimes <!--\; \otimes \; -->y)\otimes <!--\; \otimes \; -->z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x\otimes <!--\; \otimes \; -->(y\otimes <!--\; \otimes \; -->z)$$a_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes (y\otimes z)$ .

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.

ЛитератураПравить

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.