Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов $x,y$$x,\;y$

• $(x\circ <!--\; \circ \; -->y)\circ <!--\; \circ \; -->y=x\circ <!--\; \circ \; -->(y\circ <!--\; \circ \; -->y)$$\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)$ — правая альтернативность,
• $y\circ <!--\; \circ \; -->(y\circ <!--\; \circ \; -->x)=(y\circ <!--\; \circ \; -->y)\circ <!--\; \circ \; -->x$$\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x$ — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов $e_{\star <!--\; \star \; -->},e_1,e_2\dots <!--\; \dots \; -->$$e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$ с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• $e_i\circ <!--\; \circ \; -->e_j=e_{i+j}$$e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j}$ кроме $e_3\circ <!--\; \circ \; -->e_3=e_{\star <!--\; \star \; -->}$$e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }$,
• $e_{\star <!--\; \star \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->e_i=e_i\circ <!--\; \circ \; -->e_{\star <!--\; \star \; -->}=e_{i+6}$$e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6}$,
• $e_{\star <!--\; \star \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->e_{\star <!--\; \star \; -->}=e_{12}$$e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12}$

степенная ассоциативность не выполняется:

$((e_1\circ <!--\; \circ \; -->e_1)\circ <!--\; \circ \; -->e_1)\circ <!--\; \circ \; -->((e_1\circ <!--\; \circ \; -->e_1)\circ <!--\; \circ \; -->e_1)=e_3\circ <!--\; \circ \; -->e_3=e_{\star <!--\; \star \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->e_6=e_1^6$$((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}$.

ЛитератураПравить

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Мир, 1970. — 162 с.
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 351 с.
• Альтернативные кольца и алгебры — статья из Математической энциклопедии. К. А. Жевлаков