Zitterbewegung

Zitterbewegung (нем. Zitterbewegung — «дрожащее движение») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой $2m{c}^2/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$2mc^{2}/\hbar$, или приблизительно 1,6⋅10²¹ Гц.

Вывод выражения, описывающего ZitterbewegungПравить

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

$H\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x},t)=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}(\mathbf{x},t)$$H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$ 

где

$H={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{0}m{c}^2+\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j{p}_{j}c$$H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c$ 

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

$-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q(t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\left[H,Q\right].$$-i\hbar {\frac {\partial Q(t)}{\partial t}}=\left[H,Q\right]\,\!\;.$ 

В частности, для производной по времени от оператора координаты $x_k(t)$$x_{k}(t)$ 

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k(t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=i\left[H,x_k\right]={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k.$$\hbar {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,x_{k}\right]=\alpha _{k}\,\!\;.$ 

Полученное уравнение показывает, что оператор ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k$$\alpha _{k}$  можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k(t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=i\left[H,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k\right]=2i{p}_k-<!--\; -\; -->2i{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{k}H.$$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2ip_{k}-2i\alpha _{k}H\,\!\;.$ 

Поскольку $p_k$$p_{k}$ , и $H$$H$  не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по $t$$t$ , получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

$x_k(t)=x_k(0)+c^2{p}_k{H}^{-<!--\; -\; -->1}t+\frac{1}{2}i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c{H}^{-<!--\; -\; -->1}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k(0)-<!--\; -\; -->c{p}_k{H}^{-<!--\; -\; -->1})(e^{-<!--\; -\; -->2iHt/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}-<!--\; -\; -->1).$$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 \over 2}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1).$ 

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».

Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.

Опытное подтверждениеПравить

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.

СсылкиПравить

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)

• Observing Zitterbewegung in Ultracold Atoms