Прямоугольная функция

Прямоуго́льная фу́нкция, едини́чный и́мпульс, прямоуго́льный импульс, или нормированное прямоугольное окно́ — кусочно-постоянная функция следующего вида:

Прямоугольная функция

$\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами.

Другое определение функции через функцию Хевисайда $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$\theta (t)$:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right),$$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right),$

или, иначе:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t+\frac{1}{2}\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\right).$$\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).$

Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва.

Интеграл прямоугольной функции по всей прямой:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=1.$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.$

Спектр прямоугольной функцииПравить

 

Функция sinc(x) является спектром прямоугольной функции

Спектральный образ прямоугольной функции:

$\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right),$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),$ 

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}\right)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2\right)}{\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2\right)}$$\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left(\omega /2\right)}}$  — ненормированная sinc-функция.

При использовании нормированной sinc-функции:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->i2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ft}dt=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f).$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).$ 

Свёртка прямоугольных функцийПравить

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t).$$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.$ 

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. такжеПравить

• Преобразование Фурье
• Треугольная функция
• Функция Хевисайда
• Атомарная функция