Q-критерий Кохрена

Q-критерий Кохрена (англ. Cochran's Q test) — непараметрический статистический тест, используемый для проверки того, оказывают ли два или более воздействий одинаковый эффект на группы  (англ.) (рус.. При этом отклик группы может принимать только 2 возможных значения (обозначаемых как 0 и 1). Критерий получил название по имени Уильяма Кохрена  (англ.) (рус.. Не следует путать Q-критерий Кохрена с G-критерием Кохрена. При использовании Q-критерия предполагается, что результат воздействия описывается только двумя типами (например, успех/неудача, 1/0) и существуют более чем 2 группы одинакового размера. Критерий определяет, является ли доля успеха одинаковой в разных группах. Часто он используется для определения того, получают ли разные наблюдатели одного и того же явления схожий результат (вариабельность субъективной экспертной оценки).

Условия проведения экспериментовПравить

Предполагается, что имеют место k > 2 экспериментальных воздействий и что наблюдения сгруппированы в b блоков  (англ.) (рус.

	Воздействие 1	Воздействие 2	$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cdots$	Воздействие k
Блок 1	X11	X12	$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cdots$	X1k
Блок 2	X21	X22	$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cdots$	X2k
Блок 3	X31	X32	$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cdots$	X3k
$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$	$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$	$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$	$\ddots <!--\; \ddots \; -->$$\ddots$	$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$
Группа b	Xb1	Xb2	$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cdots$	Xbk

ОписаниеПравить

Q-критерий Кохрена:

Нулевая гипотеза (H₀): воздействия имеют одинаковый эффект.

Альтернативная гипотеза (H_a): существует разница в эффективности различных воздействий.

Статистика Q-критерия Кохрена:

$T=k\left(k-<!--\; -\; -->1\right)\frac{\underset{j=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(X_{\bullet <!--\; \bullet \; -->j}-<!--\; -\; -->\frac{N}{k}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_{i\bullet <!--\; \bullet \; -->}\left(k-<!--\; -\; -->X_{i\bullet <!--\; \bullet \; -->}\right)}$$T=k\left(k-1\right){\frac {\sum \limits _{j=1}^{k}\left(X_{\bullet j}-{\frac {N}{k}}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{b}X_{i\bullet }\left(k-X_{i\bullet }\right)}}$ ,

где

k — число воздействий,

X_{• j} — сумма по столбцу для j-го воздействий,

b — число групп,

X_{i •} — сумма по строке для i-й группы,

N — общая сумма.

Критическая областьПравить

Для уровня значимости α, критическая область:

$T>{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},k-<!--\; -\; -->1}^2$$T>\chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}$ 

где Χ²_{1 − α,k − 1} — (1 − α)-квантиль распределения хи-квадрат с k − 1 степенями свободы. Нулевая гипотеза отклоняется, если статистика находится в критической области. Если по Q-критерию отвергается нулевая гипотеза об одинаковом эффекте воздействий, могут быть осуществлены попарные множественные сравнения с применением Q-критерия Кохрена для оценки двух интересующих воздействий.

Примерное распределение статистики T может быть рассчитано для малого количества исследуемых объектов. Это позволяет примерно оценить критическую область. Первый алгоритм был предложен в 1975 году Патилем, второй — Фами и Белетуалем в 2017 году.

ДопущенияПравить

Q-критерий Кохрена применим при применении следующих допущений:

1. должно быть исследовано большое количество объектов, b должно быть большим.
2. группы должны быть выбраны случайно из всего возможного набора групп.
3. воздействие на группы может быть описано дихотомической переменной, которая принимает только 2 возможных значения (например, «0» или «1»)

Сопутствующие критерииПравить

• Критерий Фридмана или критерий Дарбина  (англ.) (рус. могут быть использованы в случаях, когда отклик принимает не 2 значения, а несколько возможных или любое значение в некотором интервале.
• Когда речь идёт ровно о двух воздействиях, Q-критерий Кохрена эквивалентен критерию Мак-Немара  (англ.) (рус., который, в свою очередь, эквивалентен критерию знаков.

СсылкиПравить

• «Q критерий Кохрена» на Портале Знаний