Стрелка Пирса

Стре́лка Пи́рса (функция Вебба, отрицание дизъюнкции) — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом в 1880—1881 годах.

Стрелка Пирса
ИЛИ-НЕ, NOR
Диаграмма Венна
Определение	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x+y}$${\overline {x+y}}$
Таблица истинности	$(1000)$$(1000)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}$${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$
Конъюнктивная	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}$${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$
Полином Жегалкина	$1\oplus <!--\; \oplus \; -->x\oplus <!--\; \oplus \; -->y\oplus <!--\; \oplus \; -->xy$$1\oplus x\oplus y\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Нет
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

$a$$a$	$b$$b$	$a\downarrow <!--\; \downarrow \; -->b$$a\downarrow b$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «(не X) и (не Y)», или, что то же самое, «не (X или Y)». Операция NOR коммутативна: от перемены мест операндов результат операции не изменяется.

УГО 2ИЛИ-НЕ по стандартам IEC и ANSI

Стрелка Пирса, как и штрих Шеффера, образует функционально-полный логический базис для пространства булевых функций от двух переменных. Это означает, что, используя только стрелку Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

$X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->X\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}X$$X\downarrow X\equiv \neg X$ — отрицание;

$\left(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->X\right)\downarrow <!--\; \downarrow \; -->\left(Y\downarrow <!--\; \downarrow \; -->Y\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->X\wedge <!--\; \wedge \; -->Y$$\left({X\downarrow X}\right)\downarrow \left({Y\downarrow Y}\right)\equiv {X\wedge Y}$ — конъюнкция;

$\left(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->Y\right)\downarrow <!--\; \downarrow \; -->\left(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->Y\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->X\vee <!--\; \vee \; -->Y$$\left({X\downarrow Y}\right)\downarrow \left({X\downarrow Y}\right)\equiv X\vee Y$ — дизъюнкция;

$\left(\left(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->X\right)\downarrow <!--\; \downarrow \; -->Y\right)\downarrow <!--\; \downarrow \; -->\left(\left(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->X\right)\downarrow <!--\; \downarrow \; -->Y\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$\left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\downarrow \left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\equiv X\rightarrow Y$ — импликация.

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NOR). С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих выражения схем и тем самым снижает их надёжность, а также увеличивает время прохождения сигнала и снижает быстродействие устройства.

Функциональная операция, выполняемая при $n$$n$ входах, определяется следующим выражением:

$F=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_1+x_2+x_3+x_4+...x_n}.$$F={\overline {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+...x_{n}}}.$

СхемыПравить

 

Реализация вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью диодно-транзисторной логики

 

Реализация вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью МОП

Говоря простым языком, вентиль 2ИЛИ-НЕ — это 2ИЛИ с подключённым к нему инвертором. Для наглядности — ниже приведён пример логической схемы 2ИЛИ-НЕ с выключателями. Как известно, логика 2ИЛИ близка к выражению «или A, или B, или то и другое». Чтобы получить операцию 2ИЛИ-НЕ, результат 2ИЛИ необходимо инвертировать, чтобы получить «не (A или B)». На схеме ниже это выглядит следующим образом: серым отмечены выключатели в состоянии «выключено», синим — в состоянии «включено». На верхней левой схеме оба выключателя находятся в положении «выключено». Таким образом, следуя выражению на выходе, получаем логический 0. Инвертированный результат будет равен 1 и тем самым будет логически удовлетворять выражению «не А, не B». Следующие схемы демонстрируют соответственно «ИЛИ А», «ИЛИ B», «И А, И B» с последующей инверсией результата.

 

Наглядные схемы 2ИЛИ-НЕ на выключателях

Слева представлены варианты реализации вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью диодно-транзисторной логики и с помощью МОП соответственно.

Представленная схема на МОП выполнена на однотипных МОП-транзисторах, однако существуют вариант схемы 2ИЛИ-НЕ на комплементарных (дополняющих) МОП-транзисторах. Такую схему получают путём последовательного соединения однотипных транзисторов и параллельного соединения группы транзисторов другого типа.

ЛитератураПравить

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 457—457.
• Белоусов, Аркадий Алгебра логики и цифровые компьютеры
• Терещук Д. С. Логическое моделирование СБИС на переключательном уровне
• Ю. С. Забродин «Промышленная электроника» — С. 221.