N-эллипс

N-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов.^[1] N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами,^[2] полиэллипсами^[3], k-эллипсами,^[4] эллипсами Чирнхауса. Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.^[5]

Пример n-эллипсов с 3 заданными фокусами. Увеличение расстояний нелинейное

Пусть на плоскости задано n точек (u_i, v_i) (фокусы), тогда n-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d. В виде формулы данное утверждение записывается как

\text{[math]}

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.

1-эллипс представляет собой окружность, 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую.^[2]^{:(стр. 90)} Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.^[4]^:стр.7

n-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому алгебраическому уравнению.^[4]^{:Figs. 2 and 4; p. 7} Если n нечётно, алгебраическая степень кривой равна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n}$ $2^{n}$ , если n чётно, степень равна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}$ $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}$ .^[4]^{:(Т. 1.1)}

ПримечанияПравить

↑ J. Sekino (1999): "n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", American Mathematical Monthly 106 #3 (March 1999), 193–202. MR: 1682340; Zbl 986.51040.
↑ ¹ ² Erdős, Paul (англ.) (рус.; Vincze, István (англ.) (рус.. On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses (англ.) // Journal of Applied Probability : journal. — 1982. — Vol. 19. — P. 89—96. — JSTOR 3213552. Архивировано 28 сентября 2016 года.
↑ Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", Q. of Appl. Math., pages 239–255, 1977.
↑ ¹ ² ³ ⁴ J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132 Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
↑ James Clerk Maxwell (1846): "Paper on the Description of Oval Curves Архивная копия от 3 ноября 2021 на Wayback Machine, Feb 1846, from The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

ЛитератураПравить

P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.

[Sekino-1] J. Sekino (1999): "n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", American Mathematical Monthly 106 #3 (March 1999), 193–202. MR: 1682340; Zbl 986.51040.

[erdos-2] ¹ ² Erdős, Paul (англ.) (рус.; Vincze, István (англ.) (рус.. On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses (англ.) // Journal of Applied Probability : journal. — 1982. — Vol. 19. — P. 89—96. — JSTOR 3213552. Архивировано 28 сентября 2016 года.

[Melzak-3] Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", Q. of Appl. Math., pages 239–255, 1977.

[NPS-4] ¹ ² ³ ⁴ J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132 Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine

[Maxwell-5] James Clerk Maxwell (1846): "Paper on the Description of Oval Curves Архивная копия от 3 ноября 2021 на Wayback Machine, Feb 1846, from The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]