Точки Лагранжа

Точки Лагра́нжа, точки либра́ции (лат. librātiō — раскачивание) или L-точки — точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействия никаких других сил, кроме гравитационных со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Точки Лагранжа и эквипотенциальные поверхности системы двух тел (с учётом центробежного потенциала)

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.

Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

Расположение точек ЛагранжаПравить

 

Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). Здесь точки L₄, L₅ показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться внутри неё.

 

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L₁, L₂ и L₃. Точки L₄ и L₅ называются треугольными или троянскими. Точки L₁, L₂, L₃ являются точками неустойчивого равновесия, в точках L₄ и L₅ равновесие устойчивое.

L₁ находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу; L₂ — снаружи, за менее массивным телом; и L₃ — за более массивным. В системе координат с началом отсчёта в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул:

$r_1=\left(R\left[1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{3}\right)}^{1/3}\right],0\right)$$r_1 = \left ( R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right )$ 

$r_2=\left(R\left[1+{\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{3}\right)}^{1/3}\right],0\right)$$r_2 = \left ( R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right )$ 

$r_3=\left(-<!--\; -\; -->R\left[1+\frac{5}{12}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right],0\right)$$r_{3}=\left(-R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \right],0\right)$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{M_2}{M_1+M_2}$$\alpha = \frac{M_2}{M_1+M_2}$ ,

R — расстояние между телами,

M₁ — масса более массивного тела,

M₂ — масса второго тела.

L₁Править

Точка L₁ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M₂ частично компенсирует гравитацию тела M₁. При этом чем больше M₂, тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L₁ — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L₁ составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с²) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с²), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с²). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с².

ИспользованиеПравить

В системе Солнце—Земля точка L₁ может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3. Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач). На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат SOHO. Аппараты ACE, WIND и DSCOVR находятся на квази-периодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997, 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года. В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат LISA Pathfinder.

Лунная точка L₁ (в системе Земля — Луна; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс.км) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой орбитальной станции, которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником.

L₂Править

 

Точка L₂ в системе Солнце — Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны (масштаб не соблюдён)

Точка L₂ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с меньшей массой. Точки L₁ и L₂ располагаются на одной линии и в пределе M₁ ≫ M₂ симметричны относительно M₂. В точке L₂ гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли (от Солнца), орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L₂ орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если M₂ много меньше по массе, чем M₁, то точки L₁ и L₂ находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M₂, равном радиусу сферы Хилла:

$r\approx <!--\; \approx \; -->R\sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}$$r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}$ 

где R — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M₂, для которой период обращения в отсутствие M₁ в $\sqrt{3}\approx <!--\; \approx \; -->1,73$${\sqrt {3}}\approx 1{,}73$  раз меньше, чем период обращения M₂ вокруг M₁.

ИспользованиеПравить

Точка L₂ системы Солнце—Земля (1 500 000 км от Земли) является идеальным местом для расположения орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L₂ способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени), так что солнечная радиация блокируется не полностью. На гало-орбитах вокруг этой точки на 2021 год располагались аппараты Gaia и Спектр-РГ. Ранее там действовали такие телескопы как «Планк» и «Гершель». С 2022 года это место расположения крупнейшего космического телескопа в истории имени Джеймса Уэбба.

Точка L₂ системы Земля—Луна (61 500 км от Луны) может использоваться для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны; впервые эту возможность реализовал в 2018 году китайский спутник Цюэцяо, ретранслятор первой в истории миссии на обратной стороне Луны Чанъэ-4.

L₃Править

 

Три из пяти точек Лагранжа расположены на оси, соединяющей два тела

Точка L₃ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с бо́льшей массой. Так же, как для точки L₂, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: точка L₃ в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с солнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L₃ находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на 263 км, или около 0,0002 %), так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра. В результате в точке L₃ достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L₃ другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L₃ в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 а. е. от точки L₃ и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце — Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно. С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м.

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L₃, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center^[en]). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника

L₄ и L₅Править

 

Гравитационное ускорение в точке L₄

Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M₁ и M₂, то точки L₄ и L₅ будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L₄ и L₅ называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют троянскими: это название происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке L₄ получают имена греков, а в точке L₅ — защитников Трои; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:

$r_4=\left(\frac{R}{2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\frac{\sqrt{3}R}{2}\right)$$r_4 = \left ( \frac{R}{2} \beta , \frac{\sqrt{3}R}{2} \right )$ 

$r_5=\left(\frac{R}{2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}R}{2}\right)$$r_5 = \left ( \frac{R}{2} \beta , -\frac{\sqrt{3}R}{2} \right )$ 

где

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{M_1-<!--\; -\; -->M_2}{M_1+M_2}$$\beta = \frac{M_1-M_2}{M_1+M_2}$ ,

R — расстояние между телами,

M₁ — масса более массивного тела,

M₂ — масса второго тела.

Расположение точек Лагранжа в системе Солнце — Земля

L₁=(1,48104 ⋅ 10¹¹, 0)

L₂=(1,51092 ⋅ 10¹¹, 0)

L₃=(-1,49598 ⋅ 10¹¹, 0)

L₄=(7,47985 ⋅ 10¹⁰, 1,29556 ⋅ 10¹¹)

L₅=(7,47985 ⋅ 10¹⁰, −1,29556 ⋅ 10¹¹)

Примеры:

• В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L₄ обнаружен астероид 2010 TK₇, а в 2020 году — 2020 XL₅. В L₅ пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
• По некоторым наблюдениям, в точках L₄ и L₅ системы Земля — Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского.
• В системе Солнце — Юпитер в окрестностях точек L₄ и L₅ находятся так называемые троянские астероиды. По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L₄ и L₅.
• Троянские астероиды в точках L₄ и L₅ есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов.
• Другим интересным примером является спутник Сатурна Тефия, в точках L₄ и L₅ которой находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн — Диона: Елена в точке L₄ и Полидевк в точке L₅. Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
• Один из сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая протопланета (планетезималь) Тейя, в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна, сформировалась в точке Лагранжа L₄ или L₅ системы Солнце — Земля.
• Первоначально считалось, что в системе Kepler-223 две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите на расстоянии 60 градусов. Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит коорбитальных планет.

Равновесие в точках ЛагранжаПравить

 

Изображение двойной звезды Мира (омикрон Кита), сделанное космическим телескопом «Хаббл» в ультрафиолетовом диапазоне. На фотографии виден поток материи, направленный от основного компонента — красного гиганта — к компаньону — белому карлику. Массообмен осуществляется через окрестности точки L₁

Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L₁ слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L₁ играет важную роль в тесных двойных звёздных системах. Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L₁, поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через окрестности точки Лагранжа L₁.

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива.

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M₁/M₂ > 24,96. При смещении объекта возникают силы Кориолиса, которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации.

Практическое применениеПравить

 

Полости Роша для двойной звёздной системы (обозначены жёлтым)

Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L₁ системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L₂ подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L₂ неосвещённой стороной. Точка L₁ системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы:

Точка L₁ системы Земля—Солнце:

• ISEE-3 International Cometary Explorer (запущен в 1978 году)
• Космический аппарат WIND, предназначенный для исследования солнечного ветра (запущен в 1994 году).
• SOHO (англ. Solar and Heliospheric Observatory, «Солнечная и гелиосферная обсерватория») (запущен в 1995 году).
• Advanced Composition Explorer (запущен в 1997 году).
• Genesis — космический аппарат НАСА, предназначенный для сбора и доставки на Землю образцов солнечного ветра. В в 2001 году запущен на орбиту вокруг точки Лагранжа L1 с последующим облётом точки L2 (вернулся на землю в 2004 году).
• Космическая обсерватория DSCOVR (запущена в 2015 году).
• LISA Pathfinder, запущенная в 2015 году, осуществляла проверку технологий, необходимых для планируемой постройки будущей гравитационной обсерватории eLISA.
• Лазерная интерферометрическая космическая антенна eLISA предназначена для регистрации гравитационных волн и проверки общей теории относительности (запуск запланирован на 2034 год).

Точка L₂ системы Земля—Солнце:

• Космический аппарат WMAP, изучающий реликтовое излучение (запущен в 2001 году).
• Космические телескопы «Гершель» и «Планк», (запущены в 2009 году).
• Европейский телескоп «Gaia» (запущен в 2013 году).
• Космическая обсерватория Спектр-РГ (запущена в 2019 году).
• Орбитальная инфракрасная обсерватория «Джеймс Уэбб» (запущена в 2021 году).
• Космический телескоп PLATO также планируется разместить в точке L₂ (запуск запланирован на 2026 год).

Другие точки Лагранжа:

• в сентябре-октябре 2009 года два аппарата STEREO совершили транзит через точки L₄ и L₅.
• JIMO (Jupiter Icy Moons Orbiter) — отменённый проект NASA по исследованию спутников Юпитера, который должен был активно использовать систему точек Лагранжа для перехода от одного спутника к другому с минимальными затратами топлива. Этот манёвр получил название «лестница Лагранжа».
• THEMIS несколько аппаратов вокруг точек L1 и L2 системы Земля-Луна
• ретрансляционный спутник Цюэцяо, выведенный на орбиту 20 мая 2018 года с помощью ракеты Чанчжэн-4C, циркулирует по гало-орбите вокруг точки Лагранжа L2 системы Земля-Луна.

Упоминание в культуреПравить

Основная статья: Точка Лагранжа в художественной литературе

См. также: Колонизация точек Лагранжа

Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» Гарри Гаррисона, «Глубина в небе» Вернора Винджа, «Нейромант» Уильяма Гибсона, «Семиевие» Нила Стивенсона, телесериал «Вавилон-5», аниме «Mobile Suit Gundam», компьютерные игры Prey, Borderlands 2, Cyberpunk 2077 (место расположения казино «Хрустальный дворец») Lagrange Point^[en].

Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда, «Нептунова арфа» Андрея Балабухи), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона). Айзек Азимов предлагал отправлять в точки Лагранжа радиоактивные отходы («Вид с высоты»).

Московская пост-роковая группа Mooncake в 2008 году выпустила альбом Lagrange Points, на обложке которого схематически изображены все точки Лагранжа.

См. такжеПравить

• Колонизация точек Лагранжа

ПримечанияПравить

Комментарии

Источники

СсылкиПравить

• Точки Лагранжа (англ.)
• Точки Лагранжа в научной фантастике
• David Peter Stern. Locations of Lagrange points, with approximations (англ.)