Бет-число

Для термина «Бет» см. также другие значения.

Числа бет ($\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}$$\beth$) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как ${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_0,{\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_1,{\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_2,{\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_3,\dots <!--\; \dots \; -->$$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$, где $\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}$$\beth$ названа по второй букве еврейского алфавита (бет).

Числа бет являются частью иерархии алефов (${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0,{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->$$\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$). Начинаются они одинаково: ${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_0={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0,$$\beth _{0}=\aleph _{0},$ а расположение ${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_1$$\beth_1$ среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то ${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_1={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1$$\beth _{1}=\aleph _{1}$ (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: ${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ для любого индекса $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$\alpha.$ Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много $\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}$$\aleph$, которые не являются $\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}$$\beth$.

ОпределениеПравить

Общее определение для конечных индексов:

${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_0={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\beth _{0}=\aleph _{0}$ 

${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}=2^{{\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}$ 

Для бесконечных индексов:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$ 

Примеры.

• бет-ноль (${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_0$${\displaystyle \beth _{0}}$ ) — равен ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$${\displaystyle \aleph _{0}}$ .
• бет-один (${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_1$$\beth _{1}$ ) — множество континуума.
• бет-два (${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_2$$\beth _{2}$ ) — 2^c, например, множество подмножеств действительных чисел.
• бет-омега (${\mathrm{\beth <!--\; \beth \; -->}}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$\beth _{\omega }$ ) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.

ЛитератураПравить

• Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction (англ.). — reprint of 1974. — Dover Publications, 2006. — ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
• Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory (англ.). — Virginia Commonwealth University, 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.

СсылкиПравить

• Кардиналы и ординалы  (неопр.). https://www.math.wisc.edu/.