Эффект Джанибекова

Теоре́ма промежу́точной оси́, или теоре́ма те́ннисной раке́тки, в классической механике — утверждение о неустойчивости вращения твёрдого тела относительно второй главной оси инерции. Является следствием законов классической механики, описывающих движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции. Проявление теоремы при вращении такого тела в невесомости часто называют эффектом Джанибекова в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление 25 июня 1985 года во время миссии по спасению космической станции «Салют-7». Статья, объясняющая это наблюдение, была опубликована в 1991 году. В то же время сама теорема о неустойчивости вращения вокруг промежуточной оси инерции известна давно и доказывается в любом курсе классической механики. Неустойчивость такого вращения часто показывается в лекционных экспериментах. Неустойчивость вращения вокруг промежуточной (средней) оси инерции и устойчивость вращения вокруг двух других осей была впервые обнаружена французским механиком Луи Пуансо в 1834 году и опубликована в его трактате «Новая теория вращения тел».

Демонстрация в условиях невесомости, НАСА

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта относительно главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, в то время как вращение вокруг главной оси с промежуточным моментом инерции (откуда и название теорема промежуточной оси) — нет. Джанибеков увидел это с гайкой-барашком: скрутив её в невесомости с длинной шпильки, он заметил, что она пролетает немного, разворачивается на 180°, потом, ещё немного пролетев, опять разворачивается.

На Земле этот эффект можно увидеть на таком эксперименте: возьмите за ручку теннисную ракетку и попытайтесь подбросить её в воздух так, чтобы она выполнила полный оборот вокруг оси, проходящей в плоскости ракетки перпендикулярно рукоятке, и поймайте за ручку. Почти во всех случаях ракетка выполнит пол-оборота вдоль продольной оси и будет «смотреть» на вас другой стороной. Если подбрасывать ракетку и закручивать её по другим осям, то ракетка сохранит свою ориентацию после полного оборота.

Эксперимент может быть выполнен с любым предметом, который имеет три различных момента инерции, например с книгой или пультом дистанционного управления. Эффект возникает, когда ось вращения немного отличается от второй главной оси предмета; сопротивлением воздуха или гравитацией можно пренебречь.

Называть устойчивыми вращения вокруг осей с максимальным и минимальным моментом инерции всё же неправильно, учитывая реальные физические тела. Если существуют какие-либо силы, способные рассеивать энергию вращения, например приливные, тело со временем будет вращаться только вокруг оси с максимальным моментом инерции. Так вращаются все астероиды и планеты, включая Землю. Поэтому спекуляции о возможном повороте оси вращения Земли необоснованны.

Математическое обоснованиеПравить

Теорема промежуточной оси может быть проанализирована с помощью уравнений Эйлера.

При свободном вращении они принимают следующую форму:

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$ 

Здесь $I_1,I_2,I_3$$I_{1},I_{2},I_{3}$  обозначают главные моменты инерции, и мы предполагаем, что $I_1>I_2>I_3.$$I_{1}>I_{2}>I_{3}.$  Угловые скорости вращения вокруг трёх главных осей — ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3,$$\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},$  их производные по времени — ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_1,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_2,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_3.$${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}.$ 

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции $I_1.$$I_{1}.$  Для определения характера равновесия предположим, что существуют две малые начальные угловые скорости вдоль других двух осей. В результате, согласно уравнению (1), ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_1$${\dot {\omega }}_{1}$  очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (2) по времени и подставим ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_3$${\dot {\omega }}_{3}$  из уравнения (3):

${\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})\omega _{1}^{2}\omega _{2}.\\\end{aligned}}$ 

Обратим внимание, что знаки у ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$$\omega _{2}$  и ${\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_2$${\ddot {\omega }}_{2}$  разные, поскольку множитель $(I_3-<!--\; -\; -->I_1)$$(I_{3}-I_{1})$  отрицателен, а множители $(I_1-<!--\; -\; -->I_2)$$(I_{1}-I_{2})$  и ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1^2$$\omega _{1}^{2}$  положительны. Следовательно, изначально малая скорость ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$$\omega _{2}$  будет оставаться малой и в дальнейшем. Дифференцируя уравнение (3), можно доказать и устойчивость относительно возмущения ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3.$$\omega _{3}.$  Поскольку обе скорости ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$$\omega _{2}$  и ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3$$\omega _{3}$  остаются малыми, из (1) следует, что малой остаётся и ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_1$${\dot {\omega }}_{1}$ . Поэтому вращение вокруг оси 1 происходит с постоянной скоростью.

Аналогичное рассуждение показывает, что вращение вокруг оси с моментом инерции $I_3$$I_3$  тоже устойчиво.

Теперь применим эти рассуждения к случаю вращения относительно оси с моментом инерции $I_2$$I_{2}$ . В этот раз ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_2$${\dot {\omega }}_{2}$  очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$$\omega _{2}$  можно пренебречь.

Теперь дифференцируем по времени уравнение (1) и подставим ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_3$${\dot {\omega }}_{3}$  из уравнения (3):

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})\omega _{2}^{2}\omega _{1}.\\\end{aligned}}$ 

Обратим внимание, что знаки у ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  и ${\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_1$${\ddot {\omega }}_{1}$  одинаковые, поскольку все три множителя $(I_2-<!--\; -\; -->I_3),$$(I_{2}-I_{3}),$  $(I_1-<!--\; -\; -->I_2)$$(I_{1}-I_{2})$  и ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2^2$$\omega _{2}^{2}$  положительны. Следовательно, изначально малая скорость ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  будет экспоненциально нарастать до тех пор, пока ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}_2$${\dot {\omega }}_{2}$  не перестанет быть малой и характер вращения вокруг оси 2 не изменится. Таким образом, даже небольшие возмущения вдоль других осей заставляют объект «переворачиваться».

См. такжеПравить

• Кельтский камень
• Эйлеровы углы
• Момент инерции
• Эллипсоид инерции
• Сизифово охлаждение

СсылкиПравить

• Демонстрация эффекта — орбитальная станция «Мир», Александр Серебров, показано в передаче из цикла «Уроки из космоса», выпущенной в 1997 году
• Видео эффекта Джанибекова с Международной космической станции, демонстрируется членами экипажа МКС-30 Антоном Шкаплеровым и Дэниелом Бёрбэнком
• Замедленное видео, демонстрирующее вращение ракетки для настольного тенниса
• Демонстрация эффекта Джанибекова, смоделированная с использованием Blender, также доступны исходники демонстрации
• Интуитивное объяснение эффекта Джанибекова