Эргодическое распределение

ОпределениеПравить

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\{X_{n}\}_{n\geq 0}$  - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

$p_{ij}^{(n)}=\mathbb{P}(X_n=j\mid <!--\; \mid \; -->X_0=i)$$p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)$ 

переходные вероятности за $n$$n$  шагов. Если существует дискретное распределение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$$\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ , такое что ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i>0,i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$  и

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{p}_{ij}^{(n)}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_j,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots$ ,

то оно называется эргоди́ческим распределе́нием, а сама цепь называется эргоди́ческой.

Основная теорема об эргодических распределенияхПравить

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\{X_{n}\}_{n\geq 0}$  - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей $P=(p_{ij}),i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$ . Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она

1. неразложима;
2. положительно возвратна;
3. апериодична.

Эргодическое распределение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\mathbf {\pi }$  тогда является единственным решением системы:

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i=1,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_j\ge <!--\; \ge \; -->0,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_j=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i{p}_{ij},j\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}$ .

См. такжеПравить

• Стационарное распределение.