Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

УравненияПравить

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен $R$$R$ , радиус катящейся по ней окружности равен $r$$r$ , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ :

$\{\begin{array}{l}x=(R+r)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->r\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\frac{R+r}{r}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\\ y=(R+r)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->r\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\frac{R+r}{r}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\end{array}$${\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси $OX$$OX$ .

Можно ввести величину $k=\frac{R}{r}$$\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , тогда уравнения предстанут в виде

$\{\begin{array}{l}x=r(k+1)\left(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\cos <!--\; \; -->((k+1)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})}{k+1}\right)\\ y=r(k+1)\left(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->((k+1)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})}{k+1}\right)\end{array}$${\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}$ 

Величина $k$$k$  определяет форму эпициклоиды. При $k=1$$k=1$  эпициклоида образует кардиоиду, а при $k=2$$k=2$  — нефроиду. Если $k$$k$  — несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$${\frac {m}{n}}$  ($m,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$m,n\in \mathbb {N}$ ), то $m$$m$  — это количество каспов данной эпициклоиды, а $n$$n$  — количество полных вращений катящейся окружности. Если $k$$k$  иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
•  

  $k=1$$k=1$  (кардиоида)

•  

  $k=2$$k=2$  (нефроида)

•  

  $k=3$$k = 3$ 

•  

  $k=\frac{3}{4}$$k={\frac {3}{4}}$ 

•  

  $k=\frac{1}{3}$$k={\frac {1}{3}}$ 

•  

  $k=0.5=\frac{1}{2}$$k=0.5={\frac {1}{2}}$ 

•  

  $k=2.1=\frac{21}{10}$$k=2.1={\frac {21}{10}}$ 

•  

  $k=3.8=\frac{19}{5}$$k=3.8={\frac {19}{5}}$ 

•  

  $k=5.5=\frac{11}{2}$$k=5.5={\frac {11}{2}}$ 

•  

  $k=7.2=\frac{36}{5}$$k=7.2={\frac {36}{5}}$ 

ПолучениеПравить

 

Эскиз для доказательства

Пусть $P$$P$  - искомая точка, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  - угол отклонения точки $P$$P$  от точки касания двух окружностей, $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  - угол отклонения между центрами данных окружностей.

Так как окружность катится без скольжения, то ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_R={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_r$$\ell _{R}=\ell _{r}$ 

По определению длины дуги окружности:

${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_R=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}R\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_r=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}r$$\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r$ 

Из данных двух утверждений выплывает, что

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}R=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}r$$\theta R=\alpha r$ 

Получаем соотношения для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ :

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{R}{r}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$ 

Пусть центр неподвижной окружности $A$$A$ , центр второй окружности $B$$B$ . Очевидно, что $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BP}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}$${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}$ 

Перепишем в координатах:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{(\left(R+r\right)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->};\left(R+r\right)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{(r\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right);r\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right))}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{(\left(R+r\right)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right);\left(R+r\right)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right))}$${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )}}+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right))}}$ 

Следовательно позиция точки $p$$p$ :

$x=\left(R+r\right)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)=\left(R+r\right)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\cos <!--\; \; -->\left(\frac{R+r}{r}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$ 

$y=\left(R+r\right)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)=\left(R+r\right)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->r\sin <!--\; \; -->\left(\frac{R+r}{r}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$ 

См. такжеПравить

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида