Гипоциклоида

Гипоцикло́ида (греч. ὑπό (под, внизу) + греч. κύκλος (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

УравненияПравить

 

Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9

Параметрические уравнения:

$\{\begin{array}{l}x=r(k-<!--\; -\; -->1)\left(\cos <!--\; \; -->t+\frac{\cos <!--\; \; -->((k-<!--\; -\; -->1)t)}{k-<!--\; -\; -->1}\right)\\ y=r(k-<!--\; -\; -->1)\left(\sin <!--\; \; -->t-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->((k-<!--\; -\; -->1)t)}{k-<!--\; -\; -->1}\right)\end{array}$${\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}$ 

где $k=\frac{R}{r}$$\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , где $R$$R$  — радиус неподвижной окружности, $r$$r$  — радиус катящейся окружности.

Вывод уравнений Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$$A$ , лежащей на оси $OX$$OX$ , где точка $O$$O$  — центр большой окружности. Координаты точки $A$$A$  при этом - $(kr,0)$$(kr,0)$ , где $k=\frac{R}{r}$$k={\frac {R}{r}}$ . Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$$A$ , привязанной к катящейся окружности ($A$$A$  переходит в $A^{\prime }$$A'$ ). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $C^{\prime }$$C'$  в точку $C^{\prime }$$C'$  и повернулся относительно точки $O$$O$  на угол $t$$t$ . Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $CA$$CA$  и $C^{\prime }{A}^{\prime }$$C'A'$ ) равен $t-<!--\; -\; -->kt=-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1)t$$t-kt=-(k-1)t$ . Во-вторых, координаты точки $C^{\prime }$$C'$  будут такими: $(cos(t)(k-<!--\; -\; -->1)r,sin(t)(k-<!--\; -\; -->1)r)$$(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ . Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $A^{\prime }$$A'$ : $\{\begin{array}{l}x=cos(t)(k-<!--\; -\; -->1)r+cos((k-<!--\; -\; -->1)t)r\\ y=sin(t)(k-<!--\; -\; -->1)r-<!--\; -\; -->sin((k-<!--\; -\; -->1)t)r\end{array}$${\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin((k-1)t)r\end{cases}}$

Модуль величины $k$$k$  определяет форму гипоциклоиды. При $k=2$$k=2$  гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при $k=4$$k=4$  является астроидой. Если модуль $k$$k$  — несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$${\frac {m}{n}}$  ($m,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$m,n\in \mathbb {N}$ ), то $m$$m$  — это количество каспов данной гипоциклоиды, а $(m-<!--\; -\; -->n)$$(m-n)$  — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль $k$$k$  иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Примеры гипоциклоидПравить

$k=3$$k=3$  — Дельтоида   $k=1.5=\frac{3}{2}$$k=1.5={\frac {3}{2}}$    $k=4$$k=4$  — Астроида   $k=\frac{4}{3}$$k={\frac {4}{3}}$    $k=5$$k=5$    $k=6$$k=6$    $k=5.5=\frac{11}{2}$$k=5.5={\frac {11}{2}}$    $k=\frac{5}{3}$$k={\frac {5}{3}}$    $k=3.6=\frac{18}{5}$$k=3.6={\frac {18}{5}}$

См. такжеПравить

• Циклоида
• Эпициклоида
• Гипотрохоида

ЛитератураПравить

• Гипоциклоида // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2. (CC BY-SA 3.0)

При написании этой статьи использовался материал из издания «Казахстан. Национальная энциклопедия» (1998—2007), предоставленного редакцией «Қазақ энциклопедиясы» по лицензии Creative Commons BY-SA 3.0 Unported.