Эпистемическая теория игр

Эпистемическая теория игр (англ. epistemic game theory), иначе называемая интерактивной эпистемологией (англ. interactive epistemology), формализует допущения о верах и знаниях игроков относительно рациональности, поведения оппонентов, их собственных знаний и вер. Эти допущения лежат в основе различных концепций решения — правил, в соответствии с которыми прогнозируется поведение игроков и, следовательно, исход игры. Допущения часто описаны на интуитивном уровне, и эпистемический анализ необходим для строгого обоснование использования или неиспользования конкретной концепции. Эпистемический анализ позволяет уточнить интуитивное описание допущений, выявив их несовершенства и неочевидные следствия, обобщить интуиции и очертить границы применимости концепций. Вместе с тем эпистемическая теория игр не является единственным и исчерпывающим подходом к обоснованию концепций решения, поскольку иногда эпистемические условия чрезмерно сильны.

Примером множества элементарных событий могут быть стратегии других участников, которые он не наблюдает. Один из центральных элементов эпистемической теории — иерархии вер, с помощью которых формализуются условия рациональности и общей веры в рациональность. Иерархия вер представляет собой счётное множество вер, а именно: веру относительно стратегий других участников, веру относительно их вер и т.д. Один из первых формальных способов построения бесконечной иерархии предложил Джона Харсаньи. Он ввёл структуру типов, которая наделяет каждого из участников множеством возможных состояний (типов). Тип игрока определяется в соответствии с общеизвестным распределением, однако его реализация априори известна только самому обладателю типа, либо неизвестна никому. Тип, в частности, сопоставляет игроку систему вер о стратегиях и типах оппонентов.

Вера и знаниеПравить

В эпистемической теории игр существует два подхода к моделированию вер и знаний. Семантический подход основан на теории множеств, синтаксический — на модальной логике.

Семантическое представлениеПравить

Пусть имеется множество состояний $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . Под состоянием понимается исчерпывающее описание актуальных характеристик окружающего мира. Подмножества $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  называются событиями, и множество всех событий обозначается $2^{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$$2^{\Omega}$ . Имеется индивид, чья информация об окружающем мире ограничена. Чтобы смоделировать эту неопределённость вводится оператор возможности $P:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->2^{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$$P:\Omega \rightarrow 2^{\Omega }$ , сопоставляющий каждому состоянию некоторое подмножество состояний. Находясь в состоянии $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\omega \in \Omega$ , индивиду известно лишь то, что он пребывает в подмножестве $P(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$P(\omega )\subseteq \Omega$ . Пара $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},P)$$(\Omega ,P)$  именуется шкалой вер.

Индивид знает о наступлении конкретного события только в случае $P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E$$P\omega \subseteq E$ . Оператор возможности $P$$P$  обладает двумя свойствами:

$(P1)\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$(P1)\qquad \omega \in P\omega$ 

$(P2)P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\prime }=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$(P2)\qquad P\omega \cap \omega '=\emptyset$  или $P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\prime }$$P\omega =\omega '$ 

Откуда следует, что множества $P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$${P\omega |\omega \in \Omega }$  является разбиением $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . С помощью оператора возможности можно определить оператор знания $KE=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|P\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E$$KE={\omega |P\omega \subseteq E}$ . Он обладает следующими свойствами.

$(K1)K\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$(K1)\qquad K\Omega =\Omega$ 

$(K2)K(E\cap <!--\; \cap \; -->F)=KE\cap <!--\; \cap \; -->KF$$(K2)\qquad K(E\cap F)=KE\cap KF$ 

$(K3)KE\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E$$(K3)\qquad KE\subseteq E$ 

$(K4)KE=KKE$$(K4)\qquad KE=KKE$ 

$(K5)\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}K\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}KE\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E$$(K5)\qquad \neg K\neg KE\subseteq E$ 

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

• De Finetti, Bruno. Foresight: Its logical laws, its subjective sources, volume Breakthroughs in Statistics: Foundations and Basic Theory, pages 134{174. Springer-Verlag, 1992.
• Dekel, Eddie & Siniscalchi, Marciano. Epistemic game theory (forthcoming in the Handbook of Game Theory, vol. 4.).
• Harsanyi J.C. Games with incomplete information played by \Bayesian" players, I-III. Part I. The basic model. Management Science, pages 159{182, 1967.
• Perea, A. From classical to epistemic game theory. International Game Theory Review Vol. 16, No. 1 (2014).
• Savage L.J. The foundations of statistics. Dover Pubns, 1972.

Соответствие терминовПравить

Русскоязычный термин	Англоязычный термин
возможный мир	possible world
оператор вер	belief operator
оператор возможности	possibility correspondence
событие	event
состояние	state
шкала вер	belief frame