Биморфизм

Биморфи́зм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа, теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.

Понятие биморфизма самодвойственно. Композиция биморфизмов является биморфизмом, таким образом, для данной категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$ определена подкатегория ${\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{\mathcal{C}}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{C}$$\mathrm {Bim} _{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {C}}$, состоящая из тех же объектов, и содержащая лишь морфизмы, являющиеся биморфизмами.

Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм есть изоморфизм. Например, вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{Q}$$\sigma :\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ в категории ассоциативных колец является биморфизмом, при этом необратимым, то есть, изоморфизмом не являющимся. Если биморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ представлен в виде $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\upsilon <!--\; \upsilon \; -->}$$\sigma =\tau \circ \upsilon$, то $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ — мономорфизм, а $\mathrm{\upsilon <!--\; \upsilon \; -->}$$\upsilon$ — эпиморфизм.

Сбалансированная категория — категория, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, таковы, например, категория множеств и категория групп. Категория колец, категория топологических пространств, категория абелевых групп без кручения — несбалансированные.

ЛитератураПравить

• Биморфизм — статья из Математической энциклопедии. И. В. Долгачёв, М. Ш. Цаленко
• Шульгейфер Е. Г. . Глава VII. Категории // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 368—460. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• М. Ш. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.