Эксетерская точка

Эксетерская точка — замечательная точка треугольника, обнаруженная на семинаре по вычислительной математике в Академии Филлипса в Эксетере в 1986 году, вошедшая в Энциклопедию центров треугольника как $X(22)$$X(22)$.

Определяется для треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$ следующим образом: на описанной окружности отмечаются точки пересечения с медианами треугольника ($A^{\prime }$$A'$, $B^{\prime }$$B'$ и $C^{\prime }$$C'$ для медиан, проведённых через соответствующие вершины), строится треугольник, образованный касательными к описанной окружности в вершинах заданного треугольника ($\mathrm{△<!--\; △\; -->}DEF$$\triangle DEF$, где $D$$D$ — вершина, противоположная стороне, образованной касательной в вершине $A$$A$, $E$$E$ — противоположная стороне, образованной касательной в $B$$B$), в результате прямые, проходящие через $D{A}^{\prime }$$DA'$, $E{B}^{\prime }$$EB'$ и $F{C}^{\prime }$$FC'$ оказываюся пересекающимися, и образуют эксетерскую точку. Иными словами, эксетерская точка — точка пересечения 3 прямых, проходящих через 3 пары точек: через вершину тангенциального треугольника и через соответствующую ей точку пересечения медианы с описанной окружностью исходного треугольника.

Находится на прямой Эйлера.

Трилинейные координаты: $(a\cdot <!--\; \cdot \; -->(b^4+c^4-<!--\; -\; -->a^4),b\cdot <!--\; \cdot \; -->(c^4+a^4-<!--\; -\; -->b^4),c\cdot <!--\; \cdot \; -->(a^4+b^4-<!--\; -\; -->c^4))$$(a\cdot (b^{4}+c^{4}-a^{4}),\,b\cdot (c^{4}+a^{4}-b^{4}),\,c\cdot (a^{4}+b^{4}-c^{4}))$.