Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Конечные разностиПравить

Основная статья: Конечные разности § Связь с производными

Производная функции $f$$f$  в точке $x$$x$  определяется с помощью предела:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x)}{h}.$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$ 

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции $f$$f$ , в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции $f$$f$  с некоторым достаточно малым шагом $h$$h$ . Например, выражение

$\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x)}{h}$${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ 

приближает производную функции $f$$f$  в точке $x$$x$  с точностью до величины, пропорциональной $h$$h$ . Использование выражения

$\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x-<!--\; -\; -->h)}{2h}$${\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$ 

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной $h^2$$h^{2}$ .

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

ИнтерполяцияПравить

Если известны значения функции $f$$f$  в некоторых узлах $x_0,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N$$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}$ , то можно построить интерполяционный полином $P_N(x)$$P_{N}(x)$  (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

$f^{(r)}(x)\approx <!--\; \approx \; -->P_N^{(r)}(x),0\le <!--\; \le \; -->r\le <!--\; \le \; -->N.$$f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.$ 

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член $R(x)$$R(x)$ , называемый погрешностью численного дифференцирования:

$f^{(r)}(x)=P_N^{(r)}(x)+R(x),0\le <!--\; \le \; -->r\le <!--\; \le \; -->N.$$f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.$ 

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина $h=\text{max}\{x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1}|i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}$$h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$  входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой $(r=1)$$({r=1})$  и второй $(r=2)$$({r=2})$  производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом $h>0$${h>0}$ , полученных с использованием формулы Лагранжа:

• $r=1,N=1$$r=1,\;N=1$  (два узла):

$f^{\prime }(x_0)=\frac{f_1-<!--\; -\; -->f_0}{h}-<!--\; -\; -->\frac{h}{2}{f}^{″}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),$ 

$f^{\prime }(x_1)=\frac{f_1-<!--\; -\; -->f_0}{h}+\frac{h}{2}{f}^{″}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).$ 

• $r=1,N=2$$r=1,\;N=2$  (три узла):

$f^{\prime }(x_0)=\frac{-<!--\; -\; -->3f_0+4f_1-<!--\; -\; -->f_2}{2h}+\frac{h^2}{3}{f}^{‴}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ),$ 

$f^{\prime }(x_1)=\frac{f_2-<!--\; -\; -->f_0}{2h}-<!--\; -\; -->\frac{h^2}{6}{f}^{‴}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''(\xi ),$ 

$f^{\prime }(x_2)=\frac{f_0-<!--\; -\; -->4f_1+3f_2}{2h}+\frac{h^2}{3}{f}^{‴}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ).$ 

• $r=2,N=2$$r=2,\;N=2$  (три узла):

$f^{″}(x_0)=\frac{f_0-<!--\; -\; -->2f_1+f_2}{h^2}-<!--\; -\; -->h{f}^{‴}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),$ 

$f^{″}(x_1)=\frac{f_0-<!--\; -\; -->2f_1+f_2}{h^2}-<!--\; -\; -->\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$ 

$f^{″}(x_2)=\frac{f_0-<!--\; -\; -->2f_1+f_2}{h^2}+h{f}^{‴}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).$ 

• $r=2,N=3$$r=2,\;N=3$  (четыре узла):

$f^{″}(x_0)=\frac{2f_0-<!--\; -\; -->5f_1+4f_2-<!--\; -\; -->f_3}{h^2}+\frac{11h^2}{12}{f}^{(4)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$ 

$f^{″}(x_1)=\frac{f_0-<!--\; -\; -->2f_1+f_2}{h^2}-<!--\; -\; -->\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$ 

$f^{″}(x_2)=\frac{f_1-<!--\; -\; -->2f_2+f_3}{h^2}-<!--\; -\; -->\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}),$$f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$ 

$f^{″}(x_3)=\frac{-<!--\; -\; -->f_0+4f_1-<!--\; -\; -->5f_2+2f_3}{h^2}+\frac{11h^2}{12}{f}^{(4)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).$ 

Здесь $f_i=f(x_i)$$f_{i}=f(x_{i})$ , $i=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N$$i=0,\ldots ,N$ , а $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

Неустранимая погрешностьПравить

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом $h$$h$  значения функции $f$$f$  делятся на $h^r$$h^{r}$ , где $r$$r$  — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом $h$$h$  неустранимые погрешности в значениях функции $f$$f$  оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага $h$$h$ , так как погрешность собственно метода стремится к нулю при $h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to {0}$ , а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при $h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to {0}$ . Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Комплексные числаПравить

Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция $f$$f$  является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом:

$f^{\prime }(x)=\frac{\text{Im}(f(x+ih))}{h}+O\left(h^2\right),$$f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),$ 

где $i$$i$  — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

$f(x+ih)=f(x)+ih{f}^{\prime }(x)-<!--\; -\; -->h^2\frac{f^{″}(x)}{2!}-<!--\; -\; -->i{h}^3\frac{f^{‴}(x)}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->.$$f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}-ih^{3}{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .$ 

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\frac{f(z)}{(z-<!--\; -\; -->a{)}^{n+1}}\mathrm{d}z.$$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.$ 

Интеграл можно вычислять приближённо.

ЛитератураПравить

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

См. такжеПравить

• Разделенная разность
• Численное интегрирование