Компактификация Стоуна — Чеха

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства $X$$X$ обычно обозначается как $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}X$$\beta X$.

ИсторияПравить

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном и Эдуардом Чехом.

Универсальное свойствоПравить

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}X$$\beta X$  — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из $X,$$X,$  удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->K$$f:X\to K$  в компактное хаусдорфово пространство $K$$K$  можно однозначно продолжить до непрерывного отображения $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}f:\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}X\to <!--\; \to \; -->K,$$\beta f:\beta X\to K,$  такого что следующая диаграмма коммутативна:

 

В случае, если исходное пространство $X$$X$  было вполне регулярным, отображение $X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}X$$X\to \beta X$  является гомеоморфизмом $X$$X$  на образ этого отображения (то есть вложением).

ЗамечаниеПравить

• Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

КонструкцияПравить

Обозначим через $A$$A$  множество всех непрерывных функций $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->[0,1]$$\alpha \colon X\to [0,1]$ . Можно проверить, что отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->[0,1{]}^A$$F:X\to [0,1]^{A}$  (тихоновский куб), определяемое равенством

$x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x){)}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}$ ,

является гомеоморфизмом $X$$X$  на свой образ $F(X)\subset <!--\; \subset \; -->[0,1{]}^A$$F(X)\subset [0,1]^{A}$ . Замыкание $F(X)$$F(X)$  в $[0,1{]}^A$$[0,1]^{A}$  и будет искомой компактификацией.

СвойстваПравить

• Если $X$$X$  является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств $X,$$X,$  наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров $G$$G$  можно взять множества $D_a=\{U\in <!--\; \in \; -->G|a\in <!--\; \in \; -->U\}$$D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$  для всевозможных $a\in <!--\; \in \; -->P(X).$$a\in P(X).$ 

ЛитератураПравить

• Стоуна — Чеха бикомпактное расширение — статья из Математической энциклопедии. Кожевникова И. Г.
• Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification