Тихоновский куб

Тихоновский куб в общей топологии — единичный куб в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ $m$ -мерном пространстве, где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ $m$ — произвольное бесконечное кардинальное число, называемое весом куба (оно равно весу тихоновского куба как топологического пространства), то есть, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ $m$ -кратное прямое произведение (с топологией произведения) единичного отрезка $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\prod _{s\in S}[0,1]=I^{m}$ $\prod _{{s\in S}}[0,1]=I^{m}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $|S|=m,I=[0,1]$ $|S|=m,I=[0,1]$ . Введён в 1929 году Андреем Николаевичем Тихоновым.

ПримерыПравить

Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса.

СвойстваПравить

Тихоновский куб $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I^{m}$ - универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ .

По теореме Тихонова тихоновский куб любого веса компактен.

Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\leqslant m$ , то куб $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I^{n}$ вкладывается в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I^{m}$ .

Число Суслина для любого тихоновского куба счётно, вне зависимости от его веса.

ЛитератураПравить

Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.