Частные производные высших порядков

Пусть задана функция $f(x,y)$$f(x,y)$. Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{f}$$\partial f(x,y) \over \partial x$ и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{f}$$\partial f(x,y) \over \partial y$, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных $x,y$$x,y$ и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)$${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)$ обозначается через $\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}$${\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}$ или $f_{xx}^{″}$$f_{xx}''$, а $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)$${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)$ через $\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{f}$$\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}$ или $f_{xy}^{″}$$f_{xy}''$. Таким образом,

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}=f_{xx}^{″}$${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}=f_{xx}''$, $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=f_{xy}^{″}$${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}=f_{xy}''$

и, аналогично,

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}=f_{yx}^{″}$${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x\partial y}}=f_{yx}''$, $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}=f_{yy}^{″}$${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y^{2}}}=f_{yy}''$.

Производные $f_{xx}^{″},f_{xy}^{″},f_{yx}^{″}$$f_{xx}'',f_{xy}'',f_{yx}''$ и $f_{yy}^{″}$$f_{yy}''$ называются частными производными второго порядка. Определение: частной производной второго порядка от функции $z=f(x;y)$$z=f(x;y)$ дифференцируемой в области $D$$D$, называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: $\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^3}{f}$$\partial ^{3}f \over {\partial x^{3}}$, $\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^3}{f}$$\partial ^{3}f \over {\partial y\partial x^{2}}$, $\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^3}{f}$$\partial ^{3}f \over {\partial y^{2}\partial x}$ и т. д.