Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$$OX$, а ось ординат по $OY$$OY$, на отрезке $OA=2a$$OA=2a$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$$A$ проводится касательная $UV$$UV$. Из точки $O$$O$ проводится произвольная прямая $OF$$OF$, которая пересекает окружность в точке $E$$E$ и касательную в точке $F$$F$. От точки $F$$F$, в направлении точки $O$$O$, откладывается отрезок $FM$$FM$, длина которого равна длине отрезка $OE$$OE$. При вращении линии $OF$$OF$ вокруг точки $O$$O$, точка $M$$M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

УравненияПравить

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-<!--\; -\; -->x}.(1)$$y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)$ 

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{2a{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.$ 

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{2a\left(1-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=$$\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=$ 

$=2a\left(\frac{1}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=$$=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=$ 

$=2a\left(\sec <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right).$$=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).$ 

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x=\frac{2a{u}^2}{1+u^2},$$x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},$  $y=\frac{2a{u}^3}{1+u^2},$$y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},$ 

где

$u=\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$u=\mathrm {tg} \,\varphi$ .

ИсторияПравить

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$$P$ , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$$E$ ; ось симметрии — диаметр $BD$$BD$ . Из точки $P$$P$  проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$$M$ , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$$OE$ . Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$$DOB$  внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ($DOB$$DOB$ ) замкнуть дугой окружности $EAD$$EAD$ , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

СвойстваПравить

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$$B$  и $D$$D$ , которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$$UV$ , уравнение которой: $x=2a$$x=2a$ , где $a$$a$  — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.

Площадь между циссоидой и асимптотойПравить

Эта площадь равна:

$S_1=3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2.$$S_{1}=3\pi a^{2}.$ 

Вывод

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды $KOL$$KOL$  и асимптотой $UV$$UV$  $S_1$$S_{1}$ . Уравнение верхней ветви $OL$$OL$ :

$y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-<!--\; -\; -->x}}.(2)$$y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)$ 

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до $2a$$2a$ :

$\frac{1}{2}{S}_1=\underset{0}{\overset{2a}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{\frac{x^3}{2a-<!--\; -\; -->x}}dx.(3)$${\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)$ 

Подстановка:

$u^2=2a-<!--\; -\; -->x,x=2a-<!--\; -\; -->u^2,dx=-<!--\; -\; -->2udu.$$u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.$ 

Пределы интегрирования:

$x=0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->u=\sqrt{2a},x=2a\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->u=0.$$x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.$ 

Интеграл (3) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}{S}_1=-<!--\; -\; -->2\underset{\sqrt{2a}}{\overset{0}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{(2a-<!--\; -\; -->u^2{)}^3}du=$${\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=$ 

$={-<!--\; -\; -->2\left(\frac{u}{8}(10a-<!--\; -\; -->2u^2)\sqrt{2a-<!--\; -\; -->u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin <!--\; \; -->\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)|}_{\sqrt{2a}}^0=\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2}{2}.$$=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$ 

Итак:

$\frac{1}{2}{S}_1=\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2}{2}.$${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$ 

$S_1=3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2.$$S_{1}=3\pi a^{2}.$ 

Объём тела вращенияПравить

Объём ($V_1$$V_{1}$ ) тела, образованного при вращении ветви $OL$$OL$  вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{2a}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{x^3}{2a-<!--\; -\; -->x}dx=$$V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=$ 

$=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{2a}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->2ax-<!--\; -\; -->4a^2+\frac{8a^3}{2a-<!--\; -\; -->x}\right)dx=$$=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=$ 

$={-<!--\; -\; -->\frac{44\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^3}{3}-<!--\; -\; -->8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^3(\ln <!--\; \; -->(2a-<!--\; -\; -->x))|}_0^{2a}.$$=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.$ 

Если $x\to <!--\; \to \; -->2a$$x\to 2a$ , то $\ln <!--\; \; -->(2a-<!--\; -\; -->x)\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\ln(2a-x)\to -\infty$ , то есть $V_1\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$V_{1}\to \infty$ .

ЛитератураПравить

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.