Циркуляция векторного поля

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

$C=\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{F}d\mathbf{l}=\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz),$$C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)},$

где $\mathbf{F}=\{F_x,F_y,F_z\}$${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, $d\mathbf{l}=\{dx,dy,dz\}$$d{\mathbf {l}}=\{dx,dy,dz\}$ — бесконечно малое приращение радиус-вектора $\mathbf{l}$${\mathbf {l}}$ вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляцииПравить

 

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  есть сумма циркуляций по контурам ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_1$$\Gamma _{{1}}$  и ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_2$$\Gamma _{{2}}$ , то есть $C=C_1+C_2$$C=C_{1}+C_{2}$ 

АддитивностьПравить

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

$C=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{C}_i.$$C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.$ 

Формула СтоксаПравить

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора $\mathrm{rot}<!--\; \; -->\mathbf{F}$$\operatorname {rot}{\mathbf {F}}$  через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

$\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{F}d\mathbf{l}=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}dS,$$\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,$ 

где $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\left|{\begin{matrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{\mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{matrix}}\right|$  — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

$\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}(F_{x}dx+F_{y}dy)=\underset{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{\iint <!--\; \iint \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)dxdy,$$\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy},$ 

где ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\Gamma ^{\circ }$  — плоскость, ограничиваемая контуром $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  (внутренность контура).

Физическая интерпретацияПравить

 

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->D:\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{F}(\mathbf{r})d\mathbf{l}=0\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathbf{r}\in <!--\; \in \; -->D:\mathrm{rot}<!--\; \; -->\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{0}.$$\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Leftrightarrow \forall {\mathbf {r}}\in D:\operatorname {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.$ 

Историческая справкаПравить

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину, равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу $u$$u$  на длину контура l:

$C=ul,$$C=ul,$ 

поскольку именно скорость $u$$u$  установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости $v_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$v_{{\tau }}$ . Тогда циркуляцию можно представить в виде

$C=\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}{v}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}dl=\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{v}d\mathbf{l},$$C=\oint \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l}}},$ 

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

ЛитератураПравить

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.