Циклический подкласс

Цикли́ческие подкла́ссы — подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.

ТеоремаПравить

Пусть дана цепь Маркова $\{X_n{\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\{X_{n}\}_{n\geq 0}$  с дискретным временем, дискретным пространством состояний $S$$S$  и матрицей переходных вероятностей $P$$P$ . Пусть $C\subset <!--\; \subset \; -->S$$C\subset S$  — неразложимый класс состояний с периодом $d$$d$ . Тогда существует разбиение множества $C$$C$ : $C_0,\dots <!--\; \dots \; -->,C_{d-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->C$$C_{0},\ldots ,C_{d-1}\subset C$ , то есть

$C_k\cap <!--\; \cap \; -->C_l=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->},k\ne l,\underset{k=0}{\overset{d-<!--\; -\; -->1}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{C}_k=C$$C_{k}\cap C_{l}=\emptyset ,\;k\not =l,\quad \bigcup \limits _{k=0}^{d-1}C_{k}=C$ 

такое, что

$\mathbb{P}(X_{n+1}\in <!--\; \in \; -->C_{k+1\mathrm{mod}d}\mid <!--\; \mid \; -->X_n\in <!--\; \in \; -->C_k)=1,k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,d-<!--\; -\; -->1,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\mathbb {P} (X_{n+1}\in C_{k+1\!\!\!\!\!\mod d}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N}$ .

ЗамечаниеПравить

Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:

$C_k\to <!--\; \to \; -->C_{k+1}\to <!--\; \to \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\to <!--\; \to \; -->C_{d-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->C_0\to <!--\; \to \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\to <!--\; \to \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->C_k\to <!--\; \to \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$$C_{k}\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_{0}\to \cdots \to C_{k-1}\to C_{k}\to \cdots$ ,

где $k$$k$  — индекс начального подмножества.

ОпределениеПравить

Построенные таким образом подмножества $C_k,k=1,\dots <!--\; \dots \; -->,d-<!--\; -\; -->1$$C_{k},\;k=1,\ldots ,d-1$  называются цикли́ческими подкла́ссами.

Цепь внутри циклического подклассаПравить

Очевидно имеем:

$\mathbb{P}(X_{n+d}\in <!--\; \in \; -->C_k\mid <!--\; \mid \; -->X_n\in <!--\; \in \; -->C_k)=1,k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,d-<!--\; -\; -->1,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\mathbb {P} (X_{n+d}\in C_{k}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N}$ ,

то есть через каждые $d$$d$  шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного $k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,d-<!--\; -\; -->1$$k=0,\ldots ,d-1$  можно построить новую цепь Маркова ${\left\{X_n^{(k)}\right\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\left\{X_{n}^{(k)}\right\}_{n\geq 0}$  со множеством состояний $C_k$$C_{k}$  и матрицей переходных вероятностей $P^d$$P^{d}$ . Эта цепь будет неразложимой и апериодичной. Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.