Функция Буземана

Функция Буземана — определённый тип функций на метрическом пространстве. Грубо говоря, функцию Буземана можно рассматривать как «расстояние до бесконечно удалённой точки».

ИсторияПравить

Эти функции введены Буземаном при изучении глобальных свойств метрических пространств.  Позже, они были использованы в теории вероятностей для исследования асимптотических перколяций.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,d)$$(X,d)$  — метрическое пространство. Назовём лучом кривую $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:<!--\; :\; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\to <!--\; \to \; -->X$$\gamma \colon [0,\infty )\to X$ , которая минимизирует расстояние везде вдоль своей длины, то есть для всех $t,t^{\prime }\in <!--\; \in \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$t,t'\in [0,\infty )$  в естественной параметризации выполняется

$d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t),\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t^{\prime }))=|t-<!--\; -\; -->t^{\prime }|$$d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}$ .

Функция Буземана для луча γ, $B_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R}$ , определяется как предел

$B_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(x)=\underset{t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t),x)-<!--\; -\; -->t)$$B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}$ 

ЗамечанияПравить

• Из неравенства треугольника следует, что

  $|d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t),x)-<!--\; -\; -->t|\le <!--\; \le \; -->d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0),x)$$|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$ 

для любого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ . В то же время функция

$t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t),x)-<!--\; -\; -->t$$t\mapsto d(\gamma (t),x)-t$ 

невозрастающая. Поэтому функция Буземана всегда определена для любого луча $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

• При больших $t$$t$  и фиксированном $x$$x$ 

  $d(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t),x)\approx <!--\; \approx \; -->t+B_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(x).$$d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).$ 

СвойстваПравить

• В пространстве Лобачевского, линии уровня функций Буземана образуют орисферы.