Функции Матьё

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение МатьёПравить

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+[a-<!--\; -\; -->2q\cos <!--\; \; -->(2x)]y=0,$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,$ 

где $a$$a$  и $q$$q$  - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения МатьёПравить

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: $y(x)=\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$y(x)=\exp(\mu x)\phi (x)$ , где $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi (x)$  имеет период $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ . При $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0$$\mu =0$  эти решения являются периодическими с периодом $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: ${\mathrm{c}\mathrm{e}}_0(x),{\mathrm{c}\mathrm{e}}_1(x),{\mathrm{s}\mathrm{e}}_1(x),{\mathrm{c}\mathrm{e}}_2(x),{\mathrm{s}\mathrm{e}}_2(x),...$$\mathrm {ce} _{0}(x),\mathrm {ce} _{1}(x),\mathrm {se} _{1}(x),\mathrm {ce} _{2}(x),\mathrm {se} _{2}(x),...$ . Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: ${\mathrm{c}\mathrm{e}}_{2n}(x)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_k\cos <!--\; \; -->2kx,{\mathrm{c}\mathrm{e}}_{2n+1}(x)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{B}_k\cos <!--\; \; -->(2k+1)x,{\mathrm{s}\mathrm{e}}_{2n}(x)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{C}_k\sin <!--\; \; -->2kx,{\mathrm{s}\mathrm{e}}_{2n+1}(x)=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{D}_k\sin <!--\; \; -->(2k+1)x,$$\mathrm {ce} _{2n}(x)=\sum _{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce} _{2n+1}(x)=\sum _{k}B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se} _{2n}(x)=\sum _{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se} _{2n+1}(x)=\sum _{k}D_{k}\sin(2k+1)x,$  где величины $A_k,B_k,C_k,D_k$$A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$  являются функциями от величин $a,q$$a,q$  в уравнении Матьё. Значения $A_k,B_k,C_k,D_k$$A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$  можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. такжеПравить

• Уравнение Хилла

ЛитератураПравить

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
• Уравнение Матье, EqWorld