Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

МатематикаПравить

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$$m$ , коэффициент упругости $k$$k$  и коэффициент затухания $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ . Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t),k=k(t),\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(t)$$m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$ , то уравнение движения имеет вид

$\frac{d}{dt}(m\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x})+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}+kx=0,$${\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,$

$(1)$$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$$t$  →$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , где $d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=dt/m(t)$$d\tau =dt/m(t)$ , что приводит уравнение (1) к виду

$\frac{d^{2}x}{d{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\frac{dx}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+kmx=0,$${\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,$

$(2)$$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$x(\tau )$  → $q(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$q(\tau )$ :

$q(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\exp }^{B(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}<!--\; \; -->x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),B(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{1}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},$$q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }\beta (\xi )d\xi ,$

$(3)$$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

$\frac{d^{2}q}{d{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}+{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})q=0,{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=km-<!--\; -\; -->\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}{4},$${\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )=km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},$

$(4)$$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2(t)x=0,$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,$

$(5)$$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$$m=const$ .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2(t)={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2$$\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$ , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t)$$\omega (t)$  уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t)$$\omega (t)$  — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2(t)={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})t]$$\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})t]x=0,$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(6)$$(6)$

Где ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega_{0}$  — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h\ll <!--\; \ll \; -->1$$h\ll 1$ , постоянная $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\varepsilon \ll \omega _{0}$  — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$$h>0$ . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$$x(t)$  неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

$-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},$

$(7)$$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2(t)={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->(2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})t]$$\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$  , то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->(2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})t]x=0,$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(8)$$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$y=2\omega _{0}+\varepsilon$ . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^2$$h^{2}$ , происходит в случае, когда

$-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac {1}{32}}h+{\frac {1}{2}},$

$(9)$$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+\frac{4a}{l}\cos <!--\; \; -->(2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})t]\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=0,$${\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]\phi =0,$

$(10)$$(10)$

где ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2=\frac{g}{l}$$\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}$ , и $h=\frac{4a}{l}$$h={\frac {4a}{l}}$ . В случае, когда $a\ll <!--\; \ll \; -->l$$a\ll l$  и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$$h$ , получим, что

$-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}},$

$(11)$$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega =\omega _{0}$  и её удвоенного значения $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega =2\omega _{0}$ , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)]x=0,$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(12)$$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{n},n=1,2,...,$$\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,$

$(13)$$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega_{0}$ , а ширина резонанса равна $h{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$h\omega _{0}$ . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+3\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\frac{dx}{dt}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2[1+h\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)]x=0,$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(14)$$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h\ll <!--\; \ll \; -->1$$h\ll 1$ , а лишь при тех $h>\frac{4\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2}$$h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$ . Т.о., при наличии трения

${\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,$ ,

$(15)$$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ ,${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega _{0}$ , и $h$$h$ , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

СсылкиПравить

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

ЛитератураПравить

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.