Фундаментальное решение

Эта статья — о фундаментальном решении уравнения в частных производных. О фундаментальном решении системы линейных уравнений см. Фундаментальная система решений.

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора L называется решение F (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения

LF = δ(x),

где правая часть δ(x) — дельта-функция Дирака.

Исторически понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.

СвойстваПравить

• Фундаментальное решение оператора L, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Z, принадлежащего ядру оператора L: пусть F — решение уравнения LF = δ(x), тогда F+Z также является его решением, если LZ = 0.
• Решение неоднородного уравнения LU = g(x) с произвольной правой частью g выражается через фундаментальное решение оператора L с помощью свёртки по формуле U = F ∗ g. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с g.
• Функция F является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами

$L(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->})=\underset{|k|=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x_1}^{k_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x_n}^{k_n},k=(k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_n),$$L(\partial )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}},\quad k=(k_{1},\ldots ,k_{n}),$ 

если и только если её преобразование Фурье $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}$${\widehat {F}}$  удовлетворяет равенству $L(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=1,$$L(-i\xi )\,{\widehat {F}}(\xi )=1,$  где

$L(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\underset{|k|=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1^{k_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n^{k_n},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n),$$L(\xi )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\xi _{1}^{k_{1}}\cdots \xi _{n}^{k_{n}},\quad \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}),$ 

i — мнимая единица.

ПримерыПравить

• Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами, где $|x{|}^2=x_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n^2$$|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$  — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ :

$F_2(x)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\ln <!--\; \; -->|x|,F_3(x)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|x|},F_n(x)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{(n-<!--\; -\; -->2)s_n|x{|}^{n-<!--\; -\; -->2}},n\ge <!--\; \ge \; -->3,$$F_{2}(x)={\frac {1}{2\pi }}\ln |x|,\quad F_{3}(x)=-{\frac {1}{4\pi |x|}},\quad F_{n}(x)=-{\frac {1}{(n-2)s_{n}|x|^{n-2}}},\ \ n\geq 3,$ 

где $s_n$$s_{n}$  означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.

• Фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x,t)=\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)}{(2a\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t}{)}^n}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{|x{|}^2}{4a^{2}t}),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,$$\Phi (x,t)={\frac {\theta (t)}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}\!-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}\,{\biggr )},\ \ \ x\in \mathbb {R} ^{n},$ 

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$\theta (t)$  — функция Хевисайда.

• Фундаментальное решение бигармонического уравнения, то есть оператора $L={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2,$$L=\Delta ^{2},$  имеет вид

$F_2(x)=-<!--\; -\; -->\frac{|x{|}^2}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}(\ln <!--\; \; -->|x|-<!--\; -\; -->1),F_3(x)=\frac{|x|}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}.$$F_{2}(x)=-{\frac {|x|^{2}}{8\pi }}(\ln |x|-1),\quad F_{3}(x)={\frac {|x|}{8\pi }}~.$ 

ЛитератураПравить

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.