Бигармоническая функция

Бигармоническая функция — функция $f(x)=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства ${\mathbb{R}}^n,n\ge <!--\; \ge \; -->2$$\mathbb {R} ^{n},\,n\geq 2$, имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{4}f={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{2}f=0$$\nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0$

где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$ — оператор набла, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ — оператор Лапласа.

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^4}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^4}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^4}+2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}+2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}=0.$${\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.$

В полярных координатах:

$\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{r}^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^4}-<!--\; -\; -->\frac{2}{r^3}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}=0.$${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.$

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат x_i.

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции $f(x_1,x_2)$$f(x_{1},x_{2})$ двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f₁, f₂ или g₁, g₂ в виде

$f(x_1,x_2)=x_1{f}_1(x_1,x_2)+f_2(x_1,x_2)$$f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2})$

или

$f(x_1,x_2)=(r^2-<!--\; -\; -->r_0^2)g_1(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)$$f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{2}(x_{1},x_{2})$

где $r^2=x_1^2+x_2^2,$$r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},$ а $r_0^2$$r_{0}^{2}$ — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}=D\cup <!--\; \cup \; -->C$${\bar {D}}=D\cup C$ , удовлетворяющую на границе C условиям

$f{|}_C=f_1(s),\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{|}_C=f_2(s)$$f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}(s)$

где $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$${\frac {\partial f}{\partial \nu }}$ — производная по нормали до C, f₁(s), f₂(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

$f(x_1,x_2)=\mathrm{Re}<!--\; \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z))=\frac{1}{2}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)+z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)}+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)}),\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=x_1-<!--\; -\; -->i{x}_2$$f(x_{1},x_{2})=\operatorname {Re} ({\bar {z}}\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2}}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)}}+\psi (z)+{\overline {\psi (z)}}),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}$

с помощью двух аналитических функций $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)$$\phi (z),\psi (z)$ комплексной переменной $z=x_1+i{x}_2$$z=x_{1}+ix_{2}$. Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.

См. такжеПравить

• Гармоническая функция

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Biharmonic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
• Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.