Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

ФормулировкаПравить

Предположим $M$$M$  есть $k$$k$ -мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и $p\in <!--\; \in \; -->M$$p\in M$ . Обозначим через $R$$R$  минимальное расстояние от $p$$p$  до границы $M$$M$ .

Тогда функция

$r\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\frac{\mathrm{S}(M\cap <!--\; \cap \; -->B_r(p))}{r^m}$$r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m}}}$ 

монотонно возрастает в интервале $[0,R]$$[0,R]$ ; здесь $\mathrm{S}$$\mathrm{S}$  обозначает $k$$k$ -мерную площадь и $B_r(p)$$B_{r}(p)$  — шар радиуса $r$$r$  с центром в $p$$p$ .

СледствияПравить

• Для $M$$M$ , $p$$p$  и $R$$R$  как в формулировке выполняется неравенство

  $\mathrm{S}(M\cap <!--\; \cap \; -->B_r(p))\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->r^m,$$\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$ 

при $r\le <!--\; \le \; -->R$$r\leq R$ ; здесь ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k$$\omega _{k}$  обозначает объём единичного шара в $k$$k$ -мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если $p$$p$  является точкой самопересечения то

$\mathrm{S}(M\cap <!--\; \cap \; -->B_r(p))\ge <!--\; \ge \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->r^m,$$\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},$ 

при $r\le <!--\; \le \; -->R$$r\leq R$ .

ПримененияПравить

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

ЛитератураПравить

• S. Brendle, P.K. Hung. Area bounds for minimal surfaces that pass through a prescribed point in a ball (англ.) // arXiv:1607.04631 [math.DG].

• Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.