Формула Тейлора — Пеано

Формула Тейлора — Пеано Пусть $f:\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}$, $z_0$$z_{0}$ — предельная точка множества $D_f$$D_f$ и $z_0\in <!--\; \in \; -->D_f$$z_{0}\in D_{f}$. Если функция $f$$f$ $n$$n$-дифференцируема в точке $z_0$$z_{0}$, то для всех $z\in <!--\; \in \; -->D_f$$z\in D_{f}$ справедлива формула Тейлора — Пеано

$f(z)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(z_0)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k}{k!}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n,$$f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},$ (1)

где ε_n(z) — непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀) = 0. Применим метод математической индукции. Если n = 0, то утверждение очевидно при ε_n(z) = f(z) − f(z₀). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n − 1 и что функция f n раз дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n − 1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z ∈ D_f,

$f(z)-<!--\; -\; -->f(z_0)=(z-<!--\; -\; -->z_0)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z).(2)$$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

По предположению

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z)=\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(k)}(z_0)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k}{k!}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{n-<!--\; -\; -->1},(3)$$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(z)$$\varepsilon _{{n-1}}(z)$ — непрерывная в точке z₀ функция и ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(z_0)=0$$\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$. Из равенств (2) и (3) получаем:

$f(z)=f(z_0)+(z-<!--\; -\; -->z_0)\left(\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k+1)}(z_0)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k}{k!}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{n-<!--\; -\; -->1}\right)=$$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1}\right)=$

$=f(z_0)+\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k+1)}(z_0)}{k+1}\frac{(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{k+1}}{k!}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n,$$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k+1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n},$

что равносильно формуле (1) при ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}$$\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$.

ЛитератураПравить

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.