Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

ОпределениеПравить

Функция распределения $F(x)$$F(x)$  называется устойчивой, если для любых действительных чисел $a_1>0,a_2>0,b_1,b_2$$a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}$  найдутся числа $a>0,b$$a>0,b$  такие, что имеет место равенство: $F(a_{1}x+b_1)\ast <!--\; \ast \; -->F(a_{2}x+b_2)=F(ax+b)$$F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$ , где * - операция свёртки. Если $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$  является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых $a_1>0,a_2>0$$a_{1}>0,a_{2}>0$  найдутся числа $a>0,b$$a>0,b$  такие, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\frac{t}{a_1})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\frac{t}{a_2})=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\frac{t}{a})e^{-<!--\; -\; -->itb}$$\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a}}){e}^{-itb}$ .

ЗамечанияПравить

• Если $F_X$$F_{X}$  — функция устойчивого распределения, то $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{a}_n>0,b_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R}$ , такие что

$F_X\left(\frac{x-<!--\; -\; -->b_n}{a_n}\right)=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{F_X(x)\ast <!--\; \ast \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\ast <!--\; \ast \; -->F_X(x)}},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X}(x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}$ ,

где $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  обозначает свёртку.

• Если ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_X$$\phi _{X}$  — характеристическая функция устойчивого распределения, то $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{a}_n,b_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$ , такие что

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_X^n(t)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_X(a_{n}t)e^{i{b}_{n}t}$$\phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}$ .

Свойства устойчивых распределенийПравить

• Пусть ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$  — независимые одинаково распределённые случайные величины и ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n=\frac{1}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ , где ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n>0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\beta _{n}>0,\alpha _{n}$  — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если $F_n(x)$$F_{n}(x)$  — функция распределения случайных величин ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n$$\eta _{n}$ , то предельными распределениями для $F_n(x)$$F_{n}(x)$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$  могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения $F(x)$$F(x)$  существует такая последовательность случайных величин ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n=\frac{1}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ , что $F_n(x)$$F_{n}(x)$  сходится к $F(x)$$F(x)$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

• (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

$\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}$ 

где $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$  и

$G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}$ 

См. такжеПравить

• Бесконечно делимое распределение.

ЛитератураПравить

• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.