Формула Карди

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди^[en] на основании рассуждений конформной теории поля, она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами $[a,b]$$[a,b]$ и $[c,d]$$[c,d]$ границы односвязной области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ в задаче критической перколяции равна

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->};[a,b],[c,d])=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2/3)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1/3)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(4/3)}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{1/3}{}_2{F}_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)=1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2/3)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1/3)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(4/3)}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{)}^{1/3}{}_2{F}_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},1-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right),$$\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}\eta ^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}(1-\eta )^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},1-\eta \right),$

где ${}_2{F}_1$${}_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция, а $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$ — двойное отношение

$\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=\frac{x_4-<!--\; -\; -->x_3}{x_3-<!--\; -\; -->x_1}:\frac{x_4-<!--\; -\; -->x_2}{x_2-<!--\; -\; -->x_1}$$\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$

четырёх образов $(x_1,x_2,x_3,x_4)$$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ точек $a,b,c,d$$a,b,c,d$ при конформном отображении области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ в верхнюю полуплоскость.

Формула Карди в переформулировке Карлесона: $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->};[a,b],[c,d])=x$$\Pi (\Delta ;[a,b],[c,d])=x$.

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ в правильный треугольник со стороной 1, а точки $a$$a$, $b$$b$ и $c$$c$ в вершины этого треугольника, переводит точку $d$$d$ в находящуюся на расстоянии $x$$x$ от вершины-образа точки $c$$c$, то искомая вероятность равна $x$$x$.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х годов Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.

ФормулаПравить

Исторические предпосылкиПравить

Основная статья: Теория перколяции

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил следующую задачу:

An equal number of white and black balls of equal size are thrown into a

rectangular box, what is the probability that there will be contiguous contact of white balls from one end of the box to the opposite end ? As a special example, suppose there are 30 balls in the length of the box, 10 in the width and 5 (or 10)

layers deep

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе, исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза.

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др., в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман^[en] высказывает гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.

Постановка задачиПравить

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  на плоскости, с четырьмя отмеченными точками $a,b,c,d$$a,b,c,d$  на границе. При каждом $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ , эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$\Omega ^{{\delta }}$  с отмеченными точками $a^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},b^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},c^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},d^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }$ .

Для каждого $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ , находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$\Pi _{{\delta }}$  это вероятность наличия пути от дуги $[a^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},b^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}]$$[a^{\delta },b^{\delta }]$  к дуге $[c^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},d^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}]$$[c^{\delta },d^{\delta }]$ , идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$\Pi _{{\delta }}$  при $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , стремящемся к нулю:

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},[a,b],[c,d]):=\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}.$$\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _{{\delta \to 0}}\Pi _{{\delta }}.$ 

Ответ КардиПравить

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  и ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\prime }$$\Omega '$  есть конформное отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , переводящее точки $a,b,c,d$$a,b,c,d$  на границе $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  в точки $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$$a',b',c',d'$  на границе ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\prime }$$\Omega '$ , то

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->};[a,b],[c,d])=\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\prime };[a^{\prime },b^{\prime }],[c^{\prime },d^{\prime }]).$$\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).$ 

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек $a,b,c,d$$a,b,c,d$  могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости ${\mathbb{C}}_{+}=\{Imz>0\}$$\mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\}$  для точек $0,1-<!--\; -\; -->u,1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0,1-u,1,\infty$  вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${}_2{F}_1$${}_{2}F_{1}$  как

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathbb{C}}_{+};[1-<!--\; -\; -->u,1],[\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},0])=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2/3)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1/3)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(4/3)}{u}^{1/3}{}_2{F}_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},u\right).$$\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},u\right).$ 

Это представление может быть переписано как интеграл

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathbb{C}}_{+};[1-<!--\; -\; -->u,1],[\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},0])=\frac{1}{{\int <!--\; \int \; -->}_0^1(v(1-<!--\; -\; -->v){)}^{-<!--\; -\; -->2/3}dv}{\int <!--\; \int \; -->}_0^u(v(1-<!--\; -\; -->v){)}^{-<!--\; -\; -->2/3}dv.$$\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}(v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.$ 

Переформулировка КарлесонаПравить

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил, что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков $[a,b],[c,d]$$[a,b],[c,d]$ , который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решёткиПравить

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$\Omega _{{\delta }}$  с тремя отмеченными точками $A_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},B_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},C_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$A_{{\delta }},B_{{\delta }},C_{{\delta }}$  на границе, рассматривается функция $h_{C,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z)$$h_{{C,\delta }}(z)$  на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги $A_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{C}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$A_{{\delta }}C_{{\delta }}$  до дуги $B_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{C}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$B_{{\delta }}C_{{\delta }}$  границы, отделяющего от дуги $A_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{B}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$A_{{\delta }}B_{{\delta }}$  точку $z$$z$ . Вероятность пробоя ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}};[A_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{B}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}],[C_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{D}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}])$$\Pi _{{\delta }}(\Omega _{{\delta }};[A_{{\delta }}B_{{\delta }}],[C_{{\delta }}D_{{\delta }}])$  задаётся значением этой функции в граничной точке $D_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$D_{{\delta }}$ .

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

$h_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}=h_{A,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z)+h_{B,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z)+h_{C,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z),$$h_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+h_{{B,\delta }}(z)+h_{{C,\delta }}(z),$ 

так и для их линейной комбинации

$s_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}=h_{A,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z)+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{h}_{B,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z)+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{h}_{C,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(z),\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i/3},$$s_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+\tau h_{{B,\delta }}(z)+\tau h_{{C,\delta }}(z),\quad \tau =e^{{2\pi i/3}},$ 

дискретно-антиголоморфный дифференциал $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}$${\bar {\partial }}$  оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ ). Отсюда следует голоморфность предельных функций $h=\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{h}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$h=\lim _{{\delta \to 0}}h_{{\delta }}$  и $s=\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{s}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$s=\lim _{{\delta \to 0}}s_{{\delta }}$ . Наконец, функция $h$$h$  голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки $0,1,e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i/3}$$0,1,e^{{\pi i/3}}$ ; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

СсылкиПравить

• Austin D. Percolation: Slipping through the Cracks (англ.). American Mathematical Society Feature Column. Дата обращения: 8 сентября 2011. Архивировано 15 мая 2012 года.

ЛитератураПравить

• Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. — Библиотечка «Квант». — Москва: Наука, 1982. — 265 с с.
• Cardy J. Critical percolation in finite geometries // J. Phys. A. — 1992. — Т. 25. — С. L201-L206.
• Smirnov S. Critical percolation in the plane. I. Conformal invariance and Cardy’s formula. II. Continuum scaling limit.  (неопр.)
• Smirnov S. Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits // C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I. — 2001. — Vol. 333. — P. 239—244.
• Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (англ.) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisbon, Portugal, July 28 — August 2, 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). — Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. — P. 99—112. — ISBN 978-9812562012.
• Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way  (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2011. Архивировано из оригинала 31 августа 2012 года.
• Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. — Т. 1. — С. 345--362. — ISBN 978-7040086904.