Формула Йенсена

Формула Йенсена (по имени датского математика Иогана Йенсена) позволяет определить поведение аналитической функции в круге; в некотором роде она является обобщением теоремы о среднем.

Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\overline {\Delta }}_{r}\subset {\mathbb {C} }$ ${\overline {\Delta }}_{r}\subset {\mathbb {C} }$ — некоторый замкнутый круг, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ $f$ — аналитическая в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\overline {\Delta }}_{r}$ ${\overline {\Delta }}_{r}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ — последовательность нулей $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ $f$ внутри $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\overline {\Delta }}_{r}$ ${\overline {\Delta }}_{r}$ , посчитанных столько раз, какова их кратность. Тогда имеет место следующее выражение:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\varphi })|\,d\varphi$ $\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\varphi })|\,d\varphi$

ЛитератураПравить

L. V. Ahlfors (англ.) (рус.. Complex Analysis (неопр.). — McGraw–Hill, 1979. — ISBN 0-07-000657-1.
Jensen, J. (1899), Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions, Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 22: 359–364, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02417878