Преобразование кривизны

Для термина «кривизна» см. также другие значения.

Преобразование кривизны — отображение $R(X,Y)$$R(X,\;Y)$ пространства векторных полей на многообразии $M$$M$, линейно зависящее от пары векторных полей $X$$X$ и $Y$$Y$ на $M$$M$, задаваемое формулой:

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_X{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{Y}Z-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_Y{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Z-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{[X,Y]}Z,$$R(X,\;Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,\;Y]}Z,$

где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$ — ковариантная производная, а $[\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->]$$[*,\;*]$ — скобки Ли.

См. такжеПравить

• Тензор кривизны